Giải bài 4.1 trang 54 sbt toán 9 tập 2: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

a)

• Cách 1: \(4{x^2} - 9 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \)

\(\Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2} \)

Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {3 \over 2};{x_2} =  - {3 \over 2}\)

• Cách 2: \(4{x^2} - 9 = 0 \)

\(\Delta = {0^2} - 4.4.\left( { - 9} \right) = 144 > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \)

\({x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \)

\({x_2} = {{0 - 12} \over {2.4}} = {{ - 12} \over 8} = - {3 \over 2} \)

b) \(5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} =  - 20\)

Cách 1:

• Vế trái \(5{x^2} \ge 0\)
• Vế phải -20 < 0

Không có giá trị nào của x để \(5{x^2} =  - 20\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: \(\Delta  = {0^2} - 4.5.20 =  - 400 < 0.\) 

Vậy phương trình vô nghiệm.

c)

• Cách 1: \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \)

\(\Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \)

\(= {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \over 2} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = {{\sqrt 3  - 1} \over 2};{x_2} =  - {{\sqrt 3  - 1} \over 2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\)

• Cách 2:

\(\Delta = {0^2} - 4.2\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) = 16 - 8\sqrt 3 \)

\(= 4\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 4{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) \)

\({x_1} = {{0 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 2} \over 2} \)

\({x_2} = {{0 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \)

d)

• Cách 1: \(3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - \sqrt {145} \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = {{12 - \sqrt {145} } \over 3} \)

Vì \(12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144}  < \sqrt {145}  \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

• Cách 2: 

\(\Delta  = {0^2} - 4.3\left( { - 12 + \sqrt {145} } \right) =  - 12\left( {\sqrt {145}  - 12} \right)\)

Vì \(\sqrt {145}  - 12 > 0 \Rightarrow  - 12\left( {\sqrt {145}  - 12} \right) < 0\)

\( \Rightarrow \Delta  < 0.\)

Vậy phương trình vô nghiệm.