Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng Toán 9 ctst bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1: 

a)  

ĐKXĐ: và

Đặt với ta được hệ phương trình mới là

Cộng từng vế hai phương trình của hệ (4), ta được hay (Thoả mãn).

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ (4), ta được suy ra (Thoả mãn).

Ta có , suy ra  (Thoả mãn) và (Thoả mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

b)

ĐKXĐ: và .

Đặt với ta được hệ phương trình mới là

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta được 5 hay (Thoả mãn).

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ (1), ta được suy ra .

Ta có , suy ra hay (Thoả mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Câu 2: 

a) 

Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là (giờ)

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là (giờ)

Trong 1 giờ, vòi I chảy được (bể); Trong 1 giờ vòi II chảy được (bể)

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được: (bể) (1)

Trong 2 giờ, vòi I chảy được (bể); Trong 3 giờ vòi II chảy được (bể)

Theo đầu bài ta có phương trình (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được

Trừ từng vế của hai phương trình mới ta được: hay

Thay vào phương trình ta được:

hay suy ra .

Ta thấy đều thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy nếu chảy một mình để đầy bể thì vòi I cần 10 giờ, vòi II cần 15 giờ.

b) 

Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là (giờ) ()

Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là (giờ) 

Trong một giờ, tổ I làm được: công việc; Trong 1 giờ tổ II làm được công việc.

Trong một giờ cả hai tổ làm được: công việc (1)

Vì hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ một được điều đi làm việc khác, tổ hai làm tiếp 10 giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được thỏa mãn điều kiện

Vậy tổ I làm trong 60 giờ thì xong công việc; tổ II làm trong 15 giờ thì xong công việc.

c) 

Gọi số giờ vòi 1 chảy đầy bể là (giờ); Gọi số giờ vòi 2 chảy đầy bể là (giờ)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được bể; Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được bể.

Nếu vòi 1 chảy trong 3 giờ rồi dừng lại, vòi 2 chảy tiếp 8 giờ nữa thì đầy bồn, ta có phương trình: (1)

Nếu vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1 giờ, rồi cho cả hai vòi chảy tiếp trong 4 giờ thì được bể, ta có phương trình: hay (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

Giải hệ ta được thỏa mãn điều kiện

Vậy nếu chảy 1 mình thì vòi 1 chảy trong 9 giờ đầy bồn, vòi 2 chảy trong 12 giờ đầy bồn.

d) 

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là (giờ)

Gọi thời gian vòi thứ 2 chảy 1 mình đầy bể là y (giờ)

Trong 1 giờ, vòi thứ 1 chảy được bể; Trong 1 giờ vòi thứ 2 chảy được bể

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được bể (1)

Vì nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể, ta có phương trình: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện)

Vậy để chảy một mình đầy bể thì vòi 1 chảy trong 5 giờ, vòi 2 chảy trong 10 giờ.

Câu 3: 

a) 

Gọi thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là (giờ)

Gọi thời gian xe tải đi hết quãng đường BC là (giờ), ()

Độ dài quãng đường AB là (km)

Độ dài quãng đường BC là (km)

Vì tổng quãng đường AC dài 270 km nên ta có phương trình: (1)

Tổng thời gian xe tải đi hết quãng đường AC là 6 giờ, nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình hay

Trừ từng vế của hai phương trình mới ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Ta thấy thỏa mãn điều kiện.

Vậy xe tải đó đi quãng đường AB hết giờ ; đi quãng đường AC hết giờ

b) 

Gọi vận tốc của ô tô đi là: (km/h),

Gọi vận tốc của xe đạp đi là: (km/h),

Vì ô tô và xe đạp chuyển động từ 2 đầu một đoạn đường, sau 3 giờ thì gặp nhau mà quãng đường dài 180km, nên ta có: (1)

Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km , nên ta có: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình hay

Giải hệ phương trình được thỏa mãn điều kiện

Vậy vận tốc của xe ô tô là 44 km/h; vận tốc của xe đạp là 16 km/h.

c) 

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Gọi thời gian ô tô đi quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi quãng đường AC là (giờ)

Ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h trong (giờ) nên quãng đường AB dài là: (km)

Ô tô đi quãng đường BC với vận tốc 45km/h trong y (giờ) nên quãng đường BC dài là: (km)

Tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km nên ta có:

(1)

Thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 0,5 giờ nên ta có: (2)

Từ (1)(2) có hệ phương trình hay

Giải hệ phương trình ta được thỏa mãn điều kiện đầu bài.

d) 

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lần lượt là (km/h; )

Vận tốc cano xuôi dòng là (km/h)

Vận tốc cano ngược dòng là (km/h)

Đổi 2 giờ 30 phút = giờ; 1 giờ 20 phút = giờ

Vì cano xuôi dòng sông dài 12 km rồi ngược dòng hết giờ nên ta có phương trình:

(1)

Vì cano xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết giờ nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Đặt: và

Hệ phương trình trở thành:  

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được:

Trừ từng vế của hai phương trình mới, ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Trả lại biến ban đầu: hay

Cộng từng vế của phương trình trên ta được: và (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Câu 4: 

a) 

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là (m) ()
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là (m) ()

Nửa chu vi hình chữ nhật là: (1)

Tăng chiều dài thêm 3m thì chiều dài mới là: (m) 
Tăng chiều rộng thêm 5m thì chiều rộng mới là: (m) 
Khi đó, diện tích tăng 195 m² nên ta có phương trình: 

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình được thỏa mãn điều kiện.

Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 30 cm và chiều rộng là 10 cm.

b) 

Gọi (m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng ()

Diện tích của thửa ruộng là: (m²)

Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m² nên ta có phương trình: (1)

Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m² nên ta có phương trình: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

Hay

Giải hệ phương trình ta được thỏa mãn điều kiện

Vậy thửa ruộng có chiều rộng là 14m và chiều dài là 22m.

Câu 5:

a) 

Gọi số bộ bàn ghế mà nhóm 1 dự định sản xuất là (bộ); ()

Gọi số bộ bàn ghế mà nhóm 2 dự định sản xuất là (bộ); ()

Do tổng số bộ bàn ghế của hai nhóm là 155 nên ta có phương trình:

    (1)

Do nhóm 1 vượt mức 10% nên số bộ bàn ghế nhóm 1 sản xuất là:

Do nhóm 2 vượt mức 8% nên số bộ bàn ghế nhóm 2 sản xuất là: 

Vì tổng số bộ bàn ghế lúc này là 169 nên ta có phương trình:

    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình được nghiệm là Thỏa mãn điều kiện

Vậy nhóm 1 dự định sản xuất 80 bộ và nhóm 2 dự định sản xuất 75 bộ.

b) 

Gọi lần lượt là số phần quà lớp 9A, 9B dự định gói ()

Vì tổng số phần quà dự định gói là 160 nên ta có phương trình:

Số phần quà lớp 9A thực tế gói được là 

Số phần quà lớp 9B thực tế gói được là 

Thực tế hai lớp gói được 179 phần quà nên ta có phương trình:  

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được nghiệm thỏa mãn điều kiện

Vậy số phần quà lớp 9A, 9B dự định làm lần lượt là 60 và 100 phần quà.

c) 

Gọi (quyển) lần lượt là số sách giáo khoa, sách bài tập lúc ban đầu (0 < 145; 0 < < 145, )

Tổng số sách lúc đầu là      (1)

Sách giáo khoa tăng 15% nên số quyển sách giáo khoa là:

Sách bài tập tăng 20% nên số quyển sách bài tập là:

Tổng số sách lúc đã nhập thêm là      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ ta được thỏa mãn điều kiện

Vậy ban đầu có 60 quyển sách giáo khoa và 85 quyển sách bài tập.

d) 

Gọi (nghìn đồng) lần lượt là số tiền mua một chiếc quần và một chiếc áo 

()  

Số tiền mua một bộ đồ lúc đầu là      (1)

Một chiếc quần tăng giá 11% nên giá hiện tại là 

Một chiếc áo tăng giá 10% nên giá hiện tại là 

Số tiền mua một bộ đồ sau khi tăng giá là      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta có thỏa mãn điều kiện

Vậy số tiền mua quần là 200 nghìn đồng và số tiền mua áo là 120 nghìn đồng.

Câu 6: 

Gọi lần lượt là số áo may của tổ thứ nhất và tổ thứ hai. ()

Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ ha may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1 310 chiếc áo, ta có phương trình sau:

Tổ thứ nhất may nhiều hơn tổ thứ hai 10 chiếc áo nên ta có phương trình sau:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình là

Từ phương trình (2), ta có:

Thay vào phương trình (1), ta có:

Thay vào phương trình (3), ta có:  

Suy ra  (thoả mãn điều kiện)

Bài 7:

Gọi lần lượt là số dụng cụ phải làm của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. ()

Theo kế hoạch, hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ, ta có phương trình sau:

Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức xí nghiệp 2 vượt mức do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng dụng cụ, nên ta có phương trình sau:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình là

Từ phương trình (1), ta có:

Thế vào phương trình (2), ta có:

Thay vào phương trình (3), ta có:

Suy ra  (thoả mãn điều kiện)

Vậy xí nghiệp 1 phải làm 160 dụng cụ, xí nghiệm 2 phải làm 200 dụng cụ.