I. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

HĐ1: 

Ta thấy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Kết luận: Trong tam giác ABC (Hình 97), đoạn thẳng AM nói đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Chú ý: Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC. 

Ví dụ 1 (SGK -tr104)

• AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. 
• DN, CP không là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ví dụ 2 (SGK -tr104).

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

LT1:

K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến của tam giác AKC.

H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến của tam giác BHC.

II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

HĐ2:

Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý: Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến Am, BN, CP cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G. Do đó, để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 3 (SGK -tr105)

LT2:

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.

HĐ3:

Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:

$\frac{AG}{AM}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3};\frac{BG}{BN}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{CG}{CP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

=> $\frac{AG}{AM} = \frac{BG}{BN} = \frac{CG}{CP} = \frac{2}{3}$

Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ 4 (SGK -tr106)

Chú ý: Trong tam giác ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:

$\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3};\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$.

Ví dụ 5 (SGK -tr106)