CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

BÀI 1. MỆNH ĐỀ

1. MỆNH ĐỀ

HĐKP 1:

(1), (2) là các khẳng định đúng. Dân ca Quan họ được UNESCO công nhận là di sản văn hoá phi vật thể đại diện của nhân loại vào năm 2009.

(3) là khẳng định sai. Dơi là một loài thú.

(4) và (6) đều không phải lả khẳng định (lần lượt là câu hỏi, câu cảm thán).

(5) là câu khẳng định, tuy nhiên, không thể xác định khẳng định này đúng hay sai (không có tiêu chí rõ ràng, phụ thuộc chủ quan từng người).

Kết luận:

Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý: Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa P, Q, R, ... để biểu thị các mệnh đề.

Ví dụ 1 (SGK – tr8)

Chú ý:

- Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ: Phương trình x$^{2}$ + 2x  + 1 = 0 có nghiệm nguyên.

Thực hành 1:

a) Là mệnh đề (đúng). Ở cấp Trung học cơ sở, HS đã biết " $\sqrt{2}$ là số vô tỉ".

b) Là mệnh đề. Khó kiểm tra là khẳng định đúng hay sai, nhưng chắc chắn khẳng định này chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai.

c) Không phải là mệnh đề. Mặc dù đó là một khẳng định, nhưng không thể xác định khẳng định đó đúng hay sai, vi chưa có tiêu chí để đối chiếu. Trong thực tế, tuỳ theo hoàn cảnh mà người ta coi đó là khẳng định đúng hay sai.

d) Là câu cảm thán, không phải mệnh đề.

Thực hành 2:

a) Là mệnh đề đúng. Vịnh Hạ Long được UNESCO công nhận là di sản thiên nhiên thế giới lần thứ nhất vào năm 1994 và lần thứ hai vào năm 2000 .

b) Là mệnh đề sai.

c) Là mệnh đề đúng.

2. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

HĐKP 2:

a) Không thể, vì câu này khi đúng khi sai, tùy theo giá trị của n.

b) HS có thể đưa ra nhiều giá trị khác nhau.

Ví dụ: 

P(n): "n chia hết cho 5" (n là số tự nhiên) là một mệnh đề chứa biến.

Ví dụ 2 (SGK – tr9)

Thực hành 3:

a) Khi x=$\sqrt{2}$ hoặc x=-$\sqrt{2}$ thì P(x) đúng; P(x) sai với các giá trị (thực) khác của x.
b) Q(x) đúng với mọi giá trị (thực) của x; không có giá trị của x đề Q(x) sai.
c) HS có thể đưa ra nhiều phương án khác nhau.

Ví dụ: 

n = 1 thì R(1) đúng.

n = 2 thì R(2) sai.

3. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

HĐKP 3:

Hai mệnh đề cùng cặp có tính đúng sai trái ngược nhau (mệnh đề này đúng thì mệnh đề kia sai và ngược lại).

Kết luận:

Mỗi mệnh đề có mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\bar{P}$.

Mệnh đề P và mệnh đề phủ định $\bar{P}$ của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì $\bar{P}$ sai, khi P sai thì $\bar{P}$ đúng.

Ví dụ 3 (SGK – tr 10)

Thực hành 4:

(Kí hiệu P là mệnh đề đã cho).
a) $\bar{P}$ : "Paris không phải là thủ đô của nước Anh". P sai, $\bar{P}$ đúng
b) $\bar{P}$ : "23 không phải là số nguyên tố". P đúng, $\bar{P}$ sai.
c) $\bar{P}$ : "2021 không chia hết cho 3 ". P sai, $\bar{P}$ đúng.
d) $\bar{P}$ : "Phương trình x$^{2}$-3x+4=0 có nghiệm". P đúng, $\bar{P}$ sai.

4. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

a) (1) và (2) đều là mệnh đề đúng.
b) Với mệnh đề (1), P: "Tam giác ABC là tam giác đều", Q : "Tam giác ABC là tam giác cân".
Với mệnh đề (2), P: "2a-4>0",Q:"a>2" ". 

Kết luận:

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P => Q.

Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Nhận xét:

a) Mệnh đề P => Q còn được phát biểu là "P kéo theo Q" hoặc "Từ P suy ra Q".

b) Để xét tính đúng sai của mệnh đề P => Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. 

Ví dụ 4 (SGK – tr 11)

Kết luận:

Khi mệnh đề P => Q là định lí, ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí'; 

P là điều kiện đủ để có Q;

Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ 5 (SGK -tr11)

Thực hành 5:

a)  P => Q : "Nếu hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau".

b) Mệnh đề P => Q đúng, nó là định lí

"Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau".

"Để hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau, điều kiện cần là chúng có diện tích bằng nhau".

5. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG 

HĐKP 5:

a) 

+) P :Tam giác ABC là tam giác đều"; Q: "Tam giác ABC có hai góc bằng 60$^{\circ}$ ". 

P => Q là mệnh đề đúng.

+) P:a=2";Q:"a$^{2}$-4=0"⋅

P=> Q là mệnh đề đúng.

b) Q => P : 'Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60$^{\circ}$ thì nó là tam giác đều" là mệnh đề đúng.

Q => P : "Nếu a$^{2}$-4=0 thì a=2 " là mệnh đề sai.

Kết luận:

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề không nhất thiết là đúng.

Kết luận:

Nếu cả hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P <=> Q (đọc là "P tương đương Q" hoặc "P khi và chỉ khí Q".

Khi đó, ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ để có P).

Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ 6 (SGK – tr 12+13)

Thực hành 6:

a) P => Q : "Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

Q => P : "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình vuông".

b) Hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng. Do đó, P và Q là hai mệnh đề tương đương.

P <=> Q : "Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau" hoặc "Để tứ giác ABCD là hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

6. MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ∀, ∃

HĐKP 6:

(1) là mệnh đề sai, vi có x=4 mà $\sqrt{x}$=$\sqrt{4}$=2 không phải là số vô tỉ.

(2) là mệnh đề đúng.

(3) là mệnh đề đúng, có số 0 cộng với chính nó bằng 0 .

(4) là mệnh đề sai, vi chỉ có số n=$\frac{1}{2}$ thoả mãn 2n-1=0, mà $\frac{1}{2}$ không phải là số tự nhiên.

Kết luận:

Mệnh đề "∀x∈M,P(x) " đúng nếu với mọi x$_{0}$, P(x$_{0}$) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề "∃x∈M,P(x) " đúng nếu có x$_{0}$∈M sao cho P(x$_{0}$) là mệnh đề đúng.

Ví dụ 7 (SGK – tr14)

Thực hành 7:

a) ∀a∈R,a+-a=0;

 b) ∃n∈N,n$^{2}$=9.

Thực hành 8:

a) Mệnh đề sai, vì có x=0 mà x$^{2}$=0. Mệnh đề phủ định là " ∃x∈R,x$^{2}$≤0 ".

b) Phương trình x$^{2}$-5x+4=0 có nghiệm x=1,x=4. Vậy có hai số thực x=1 và x=4 thoả mãn x$^{2}$=5x-4. Do đó, đây là mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định là " ∀x∈R,x$^{2}$≠5x-4 ".

c) Phương trình 2x+1=0 chỉ có một nghiệm x=-$\frac{1}{2}$, mà -$\frac{1}{2} \notin $Z nên mệnh đề đã cho sai. Mệnh đề phủ định là " ∀x∈Z,2x+1≠0 ".