Lời giải bài 5 chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị

Vì  x + y + z = 1  => $S=( x + y + z )\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$.

<=>  $S=1+4+9+(\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{9y}{z})+(\frac{9x}{z}+\frac{z}{x})$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{y}{x},\frac{4x}{y}$ ta có :

$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geq 2\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{4x}{y}}=4$      (1)

Tương tự với 2 số dương $\frac{4z}{y},\frac{9y}{z}$ ta có:

$\frac{4z}{y}+\frac{9y}{z}\geq 2\sqrt{\frac{4z}{y}.\frac{9y}{z}}=12$       (2)

Tương tự với 2 số dương $\frac{9x}{z},\frac{z}{x}$ ta có :

$\frac{9x}{z}+\frac{z}{x}\geq 2\sqrt{\frac{9x}{z}+\frac{z}{x}}=6$         (3)

Từ (1) , (2) và (3) => $S\geq 1+4+9+4+12+6=36$

Dấu " = " xảy ra <=> $\frac{y}{x}=\frac{4x}{y},\frac{4z}{y}=\frac{9y}{z},\frac{9x}{z}=\frac{z}{x},x+ y +z=1$

<=>  $y=2x,z=3x,x+y+z=1$

<=> $y=\frac{1}{3},x=\frac{1}{6},z=\frac{1}{2}$

Vậy Min S = 36 <=>  $y=\frac{1}{3},x=\frac{1}{6},z=\frac{1}{2}$.