Hướng dẫn giải câu 5 đề thi Toán vào 10 Năm 2017 TP HCM

a)  Ta có : 

• $\widehat{ADB}=90^{\circ}$   ( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn )
• $\widehat{ADB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$

=> Tứ giác AHDC là tứ giác nội tiếp    (đpcm )

• $\widehat{CHD}=\widehat{DAC}$  ( cùng chắn cung DC )
• $\widehat{DAC}=\widehat{ABC}$

=> $\widehat{CHD}=\widehat{ABC}$    ( đpcm )

b)  Xét $\triangle OHB$ và $\triangle OBC$ ,có : 

$\widehat{O}$ chung

$OB^{2}=OA^{2}=OH.OC=$

=>  $\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}$

=> $\triangle OHB \sim \triangle OBC (c-g-c)$

=> $\widehat{OHB}=\widehat{OBC}$    ( 2 góc tương ứng )

Mà : $\widehat{OBC}=\widehat{DAC}=\widehat{DHC}$

=>  $\widehat{OBC}=\widehat{DHC}$

=>  $\widehat{OHB}=\widehat{DHC}$

=>  $\widehat{BHM}=\widehat{DHM}$

Vậy HM là  là tia phân giác của góc BHD.   ( đpcm )

c)  

Vì HM là đường phân giác của góc BHD

=> $\frac{MB}{MD}=\frac{HB}{HD}$  (t/c đường phân giác)

Mà : $HM\perp HC$  =>  HC là đường phân giác ngoài của góc BHD .

=>  $\frac{CB}{CD}=\frac{HB}{HD}$

=>  $\frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$

=>  $MD.BC=MB.CD$

Ta có : $\frac{MB}{MD}=\frac{BH}{HD}=\frac{CB}{CD}=> \frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$

=> $\frac{MB+MD}{MD}=\frac{CB}{CD}+1$

=>  $\frac{BD}{MD}=\frac{CB+CD}{CD}$

=>  $BD.CD=MD(CB+CD)$

Ta có : $MB.MD=MK.MC=(MB.\frac{BD}{2}).MC$

<=> $MB.(MC-MD)=\frac{BD.MC}{2}$

<=>  $MB.CD=\frac{BD.MC}{2}$

=>  $MD.CB=\frac{BD.MC}{2} $

Ta có : $2MD.BC=MC.BD<=> \frac{BD}{MD}=\frac{2BC}{MC}=\frac{2BC}{MD+CD}$    (1)

Mặt khác , ta có : $\frac{BD}{MD}=\frac{CB+CD}{CD}$ 

Từ (1) <=> $\frac{CB+CD}{CD}=\frac{2BC}{MC.CD}$

<=> $2BC.CD=(CB+CD)(MD+CD)$

<=> $2BC.CD=CB.MD+CD.MD+CB.CD+CD^{2}$

<=> $2BC.CD=MB.CD+CD.MD+CB.CD+CD^{2}$

<=> $2BC=MB+MD+BC+CD<=> 2BC=2BC$   ( luôn đúng )

=>  ( đpcm )

d)  Gọi N là giao điểm của MA và (O)

Ta có : 

• $MK.MC=MB.MD$
• $MB.MD=MN.MA$

Vì I , J cùng thuộc (O)  => $MB.MD=MN.MA=MI.MJ$

=>  $MK.MC=MI.MJ$

=>  $\triangle MJK\sim \triangle MCI   (c-g-c)$

=>  $\left\{\begin{matrix}\widehat{JMK}=\widehat{IMC} & \\ \frac{MI}{MK}=\frac{MC}{MJ} & \end{matrix}\right.$

=>  $\widehat{MJK}=\widehat{MCI}=> \widehat{MJK}=\widehat{MEK}$

=> Tứ giác KJEM nội tiếp .

=>  $\widehat{MJE}=\widehat{MKE}=90^{\circ}$

=>  $\widehat{FJI}=90^{\circ}$

=>  FI là đường kính của (O).

=>  $F\in (O)$

=>  Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).   ( đpcm )