Hướng dẫn giải câu 4 đề thi Toán vào 10 Năm 2017 TP HCM

a)  Để (1) có hai nghiệm phân biệt <=> $\Delta >0$

<=> $\left [ -(2m-1) \right ]^{2}-4(m^{2}-1)>0$

<=> $4m^{2}-4m+1-4m^{2}+4>0$

<=> $5-4m>0<=> m<\frac{5}{4}$

Vậy với $m<\frac{5}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .

b)  Từ câu a) , với $m<\frac{5}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Áp dụng định lí Vi-et  cho (1) , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m-1 (2)& \\ x_{1}.x_{2}=m^{2}-1 (3) & \end{matrix}\right.$

Theo đề ra , ta có : $(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}-3x_{2}$.

<=> $x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=x_{1}-3x_{2}$

<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=x_{1}-3x_{2}$

<=> $(2m-1)^{2}-4(m^{2}-1)=x_{1}-3x_{2}$

<=> $4m^{2}-4m+1-4m^{2}+4=x_{1}-3x_{2}$

<=> $5-4m=x_{1}-3x_{2}$    (*)

Từ (2) =>  $x_{1}=2m-1-x_{2}$ , thay vào (*) ta được : $5-4m=2m-1-x_{2}-3x_{2}$

<=> $x_{2}=\frac{3}{2}(m-1)$

=> $x_{1}=2m-1-\frac{3}{2}(m-1)=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}$

Thay giá trị $x_{1},x_{2}$ vào (3), ta có : $\frac{1}{2}(m+1).\frac{3}{2}(m-1)=m^{2}-1$

<=> $\frac{3}{4}(m^{2}-1)=m^{2}-1$

<=> $\frac{-1}{4}(m^{2}-1)=0$

<=> $m^{2}-1=0=> m=\pm 1 (t/m)$

Vậy $ m=\pm 1 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.