Giải Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

a) $sin(x+h) - sin(x) = 2cos(\frac{x+h+x}{2})sin(\frac{x+h-x}{2}) = 2cos(x+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})$

b) Áp dụng định nghĩa, ta có:

$y'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2cos(x+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})}{h}$

Chia tử và mẫu cho $2sin(\frac{h}{2})$, ta có:

$y'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x+\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} \cdot \frac{1}{sin(\frac{h}{2})} \cdot sin(\frac{h}{2}) = \lim_{h \to 0} cos(x+\frac{h}{2}) \cdot \frac{1}{\frac{h}{2}} \cdot \frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}$

Áp dụng kết quả của đẳng thức giới hạn, ta có:

$y'(x) = cos(x) \cdot 1 = cos(x)$