Giải Hoạt động 10 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

a) $y = Inx$

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{In(x+h)-Inx}{h}$

Sử dụng đẳng thức $ln(1+t)=t+o(t)$ khi $t\rightarrow 0$, ta có:

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{h}$

Áp dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$, ta có:

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$

$y' = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}\cdot\frac{1}{x}$ (với $t = \frac{h}{x}$)

$y' = \frac{1}{x}$

b) $y=\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}$

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{lnx}{lna})$

$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{d}{dx}(lnx)$

Sử dụng kết quả đã tính ở câu a), ta có:

$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{x\cdot lnax}$