Giải câu 10 bài tập cuối chương V

Qua M kẻ đường thẳng IK // AB, NP // AC, QS // BC (K, P $\in$ BC; N, Q $\in$ AB; I, S $\in$ AC). 

Ta có: MK // AB $\Rightarrow$ $\widehat{MKP}$ = $60^{\circ}$

           MP // AC $\Rightarrow$ $\widehat{MPK}$ = $60^{\circ}$

$\Rightarrow$ $\Delta$MKP đều mà MD là đường cao nên MD đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta$MKP.

$\Rightarrow$ $\vec{MK}$ + $\vec{MP}$ = 2$\vec{MD}$ 

Chứng minh tương tự, ta có: $\vec{MN}$ + $\vec{MQ}$ = 2$\vec{MF}$; $\vec{MI}$ + $\vec{MS}$ = 2$\vec{MF}$

$\Rightarrow$ 2($\vec{MD}$ + $\vec{ME}$ + $\vec{MF}$) = $\vec{MK}$ + $\vec{MP}$ + $\vec{MI}$ + $\vec{MS}$ + $\vec{MN}$ + $\vec{MQ}$

= ($\vec{MN}$ + $\vec{MI}$) + ($\vec{MK}$ + $\vec{MQ}$) + ($\vec{MP}$ + $\vec{MQ}$)

= $\vec{MA}$ + $\vec{MB}$ + $\vec{MC}$ (quy tắc hình bình hành)

= $3\vec{MO}$ (vì O là trọng tâm $\Delta$ ABC)

$\Rightarrow$ $\vec{MD}$ + $\vec{ME}$ + $\vec{MF}$ = $\frac{3}{2}$$\vec{MO}$  (đpcm)