Giải câu 1 đề 18 ôn thi toán lớp 9 lên 10

a. Với x = 9 ta có:

$M=\frac{x+15}{\sqrt{x}+3}=\frac{9+15}{\sqrt{9}+3}=\frac{24}{6}=4$

b. $N=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \right ).\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}$

$=\frac{2(\sqrt{x}-3)-\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}$

$=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

c. $P= M+N = \frac{x+15}{\sqrt{x}+3}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}$

$=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}+6$

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm √x + 3 và $\frac{25}{\sqrt{x}+3}$ ta được:

$\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}\geq 2.\sqrt{(\sqrt{x}+3)\frac{25}{\sqrt{x}+3}}=2.5=10$

$\Rightarrow \sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}+6\geq 10+6 = 16$

Dấu bằng xảy ra khi:

$\sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+3)^{2}=25\Leftrightarrow \sqrt{x}+3=5$ (do $\sqrt{x}+3> 0$)

$\Leftrightarrow \sqrt{x}=2 \Leftrightarrow x=4$

Vậy GTNN của P = 16, đạt được khi x = 4