Giải bài tập 9.46 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC

$=> \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC} => DB.AC=DC.AB$

Ta có:

$BD.(AB+AC)=DB.AB+DC.AB=DB.AB+DC.AB+AB(DB+DC)$

$=> BD.(AB+AC)=AB.BC$

$=> \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$ (1)

Xét $\Delta CED và \Delta CAB$ có

$\widehat{C}$ chung, $\widehat{A}=\widehat{E}$

$=> \Delta CED \sim \Delta CAB$ (g.g)

$=> \frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}$

$=> \frac{AC-AE}{AC}=\frac{BC-BD}{BC}$

$=> 1-\frac{AE}{AC=1-\frac{DB}{BC}$

$=> \frac{AE}{AC}=\frac{DB}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AB+AC}$

=> $AE=\frac{AB.AC}{AB+AC}$

b) Xét hai tam giác DFC và tam giác ABC, có

$\widehat{C}$ chung, $\widehat{A}=\widehat{E}=90^{\circ}$

=> $\Delta DFC\sim \Delta ABC$

c) Có $\Delta DFC\sim \Delta ABC$

=> $\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AC} => DF=\frac{AB.DC}{AC}$ (3)

Ta có $DB.AC=DC.AB => DB=\frac{DC.AB}{AC}$ (4)

Từ (3) và (4)

$=> DF=DB$