Giải bài tập 7.54 trang 43 SBT toán 11 tập 2 Kết nối

a) Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AK vuông góc với AH tại K thì $AK\perp (A′BC)$

$=> A’H\perp BC.$

Góc nhị diện [A, BC, A] bằng $\widehat{AHA'}, $

$=>\widehat{AHA'} = 45^{\circ}.$

Theo định lí côsin, áp dụng cho tam giác ABC, ta có:

$BC^{2} = AB^{2}+ AC^{2}-2.AB.AC cos\widehat{BAC }= 7a^{2},$

$=> BC = a\sqrt{7}$

Do đó

$AH=\frac{2.S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC.sin\widehat{BAC}}{BC}=\frac{3\sqrt{21}}{7}a$

Vì tam giác AHA vuông cân tại A nên $AK=\frac{A'H}{2}=\frac{AH\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{42}}{14}a$

Vậy $d(A,(A'BC))=\frac{3\sqrt{42}}{14}a$

b) Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C là

$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA'$

$=\frac{1}{2}.AB.AC.sin60^{\circ}.AA'$

$=\frac{27\sqrt{7}}{14}a^{3}$