Giải bài tập 7.52 trang 43 SBT toán 11 tập 2 Kết nối

a) Ta có: $BD\perp AC, SA\perp (ABCD)$

$=> SA\perp BD$

$=> BD\perp (SAC)$

Mà mặt phẳng (SBD) chứa đường thẳng BD, do đó $(SBD)\perp (SAC).$

Ta có: $CD\perp AD, CD\perp SA, $

$=> CD\perp (SAD)$

Mà mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD, do đó $(SCD)\perp (SAD).$

b) Ta có: $AD\perp (SAB)$

$=> AD\perp SB,$

mà $SB\perp DF$

$=> SB\perp (ADF), $

$=> SB\perp AF. $

Ta lại có $BC\perp (SAB)$

$=> BC\perp AF, $

$=> AF\perp (SBC)$

Mà mặt phẳng (ACF) chứa đường thẳng AF nên $(ACF)\perp (SBC).$

Vì $AF\perp (SBC)$ nên $AF\perp SC. $

Tương tự, ta có $AE\perp (SCD)$ nên $AE\perp SC, $

$=> SC\perp (AEF),$

Mà mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SC nên $(AEF)\perp (SAC).$

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ $OH\perp SC$ tại H, 

Mà $BD\perp (SAC)$ nên $OH\perp BD$

=> OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC, hay $d(BD, SC) = OH.$

Có $\Delta CHO\sim \Delta CAS$ nên $\frac{OC}{CS}=\frac{OH}{AS}$

$=> OH=\frac{AS.OC}{CS}=\frac{a}{2}$

Vậy $d(BD, SC)=\frac{a}{2}$