Giải bài tập 7.35 trang 46 SBT toán 10 tập 2 kết nối

Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (trong đó a > b > 0).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).

Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:

$\frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{3^{2}}{b^{2}}=1=>b^{2}=3^{2}=9$

$\frac{6^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}}=1=>a^{2}=6^{2}=36$

Suy ra phương trình của (E) là $\frac{xM^{2}}{36}+\frac{yM^{2}}{9}=1$

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.

$\frac{xM^{2}}{36}+\frac{yM^{2}}{9}=1$

Suy ra: $yM=3\sqrt{1-\frac{xM^{2}}{36}}=3\sqrt{1-\frac{1.5^{2}}{36}}\approx 2.905>2.8$

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.