Giải bài 7.2 trang 60 sbt toán 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

a) Khi $m = 2 $ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1}  - 3 = 0\)

Điều kiện \(x \ge 1\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0;x + 2\sqrt {x - 1}  - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  - 2 = 0\)

Phương trình ban đầu trở thành \({t^2} + 2t - 2 = 0\)

\(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \)

• \({t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \)
• \({t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)<0 \,\rm{(loại)}\)

\(\Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \)

\(\Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \)

\(\Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \)

b)     \(x + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 11 = 0\)

Điều kiện \(x \ge 1\)

\( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t , t \ge 0\)

Phương trình ban đầu trở thành

\({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

• \(a = 1 > 0\)
• \(c =  - {m^2} + 6m - 10 \)

\(=  - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) \)

\(=  - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\)

$\Rightarrow $a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_1 $và $t_2 $trái dấu nhau.

Giả sử \(t_1 > 0 \Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\)

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.