Giải bài 50 trang 60 sbt toán 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

a)    \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)

Đặt \(4x - 5 = t\)

Phương trình ban đầu trở thành:

\({t^2} - 6t + 8 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \)

• \({t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \)
• \({t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2\)

\(\Rightarrow \left[ {\matrix{{4x - 5 = 4} \cr {4x - 5 = 2} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4x = 9} \cr {4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {9 \over 4}} \cr {x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)

b)    \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\)

Đặt \({x^2} + 3x - 1 = t\)

Phương trình ban đầu trở thành \({t^2} + 2t - 8 = 0\)

\(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \)

\(\sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \)

• \({t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \)
• \({t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4\)
• Với $t_1= 2 $ta có: \({x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\)

\(\Delta = 9 - 4.1.\left( { - 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {21} \)

• \({x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 2} = \frac{- 3 + \sqrt {21}}{2} \)
• \({x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 2} = \frac{- 3 - \sqrt {21}}{2}\)
• Với $t_2 = -4 $ta có: \({x^2} + 3x - 1 =  - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)

\(\Delta  = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 =  - 3 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(\frac{- 3 + \sqrt {21}}{2};{x_2} =  \frac{- 3 - \sqrt {21}}{2} \)

c)    \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x - 2} \right) - 6 = 0\)

Đặt \(2{x^2} + x - 2 = t\)

Phương trình ban đầu trở thành \({t^2} + 5t - 6 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = - 6\)

• Với $t_1 = 1 $ta có: \(2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 2 + 1 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

• Với $t_2 = -6 $ta có: \(2{x^2} + x - 2 =  - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)

\(\Delta  = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 =  - 31 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

d)    \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - 3 = 0 \)

Đặt  \({x^2} - 3x + 2 = t\)

Phương trình ban đầu trở thành \({t^2} + 2t - 3 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \)

• Với $t_1 = 1 $ta có: \({x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 5 \)

• \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \)
• \({x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)
• Với $t_2 = -3 $ta có: \({x^2} - 3x + 2 =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\)

\(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 =  - 11 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

e)     \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} - 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \)

Đặt \({x \over {x + 1}} = t\) 

Phương trình ban đầu trở thành \(2{t^2} - 5t + 3 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0\)

\(\Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)

• Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm
• Với t₂ = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x =  - 3(t/m)\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x = -3$

f)     \(x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\)

Điều kiện: $x \ge 1$

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) - \sqrt {x - 1}  - 2 = 0\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t ,t \ge 0\)

Phương trình ban đầu trở thành \({t^2} - t - 2 = 0\)

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 1 + 1 - 2 = 0 \)

\(\Rightarrow {t_1} = - 1\,\,\rm{(loại)};{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2\)

Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x - 1}  = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

$x = 5 $thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x = 5$