Giải bài 46 trang 59 sbt toán 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

a)    \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)

Điều kiện: \(x \ne  \pm 1\)

\(\Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 4 + 21 = 25 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \)

• \({x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \)(thỏa mãn)
• \({x_2} = {{2 - 5} \over 1} = - 3\)(thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} =  - 3\)

b)    \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)

Điều kiện: \(x \ne 3;x \ne 1\)

\(\Rightarrow 16\left( {1 - x} \right) + 30\left( {x - 3} \right) = 3\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right) \)

\(\Leftrightarrow 16 - 16x + 30x - 90 = 3x - 3{x^2} - 9 + 9x \)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 65 = 0 \)

\(\Delta ' = {1^2} - 3.\left( { - 65} \right) = 1 + 195 = 196 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {196} = 14 \)

• \({x_1} = {{ - 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \)(thỏa mãn)
• \({x_2} = {{ - 1 - 14} \over 3} = - 5 \)(thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{13} \over 3};{x_2} =  - 5\)

c)    \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)

Điều kiện: \(x \ne 3;x \ne  - 2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 3x + 5 = x + 2 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)

Ta có  \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0 \)

\(\Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = 3 \)

Giá trị $x = 3 $không thỏa mãn điều kiện: loại

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 1$

d)    \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

Điều kiện: \(x \ne 2;x \ne  - 4\) 

\(\Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) - x\left( {x - 2} \right) = 8x + 8 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - {x^2} + 2x = 8x + 8 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \)

\(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \)

• \({x_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \)(không thỏa mãn)
• \({x_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4\)(không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

e)    \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)

Điều kiện \(x \ne 1\)

\(\Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \)

\(\Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = \left( {{x^2} - x + 16} \right)\left( {x - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = {x^3} - {x^2} + 16x - {x^2} + x - 16 \)

\(\Leftrightarrow 9{x^2} - 11x - 14 = 0 \)

\(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.9.\left( { - 14} \right) = 625 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \)

• \({x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \)(thỏa mãn)
• \({x_2} = {{11 - 25} \over {2.9}} = {{ - 14} \over {18}} = - {7 \over 9} \)(thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} =  - {7 \over 9}\)

f)     \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x - 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) 

Điều kiện \(x \ne  \pm 1\)

\(\Rightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17\left( {x - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17x - 17 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 9x - 17x - 1 + 17 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 1.16 = 16 - 16 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = 4\)(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 4$