Bài tập về tìm trung điểm của đoạn thẳng

6.

BA và BC là hai tia đối nhau nên B nằm giữa A và C

Suy ra AB + BC = AC nên AC = 8 + 4 = 12 (cm)

N là trung điểm của AC nên AN = NC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.12 = 6 (cm)

M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$.8 = 4 (cm)

Do đó AM < AN nên M nằm giữa A và N (1) $\Rightarrow $ AM + MN = AN $\Rightarrow $ MN = AN - AM = 6 - 4 = 2 (cm)

Có AN < AB nên N nằm giữa A và B (2) $\Rightarrow $ AN + NB = AB $\Rightarrow $ NB = AB - AN = 8 - 6 = 2 (cm)

Suy ra NB = MN = 2 (cm)

Mà từ (1) và (2) suy ra N nằm giữa M và B

Vậy N là trung điểm của MB

b) B là trung điểm của NP vì:

• BN = NP = 2 (cm)
• B nằm giữa N và P 

B là trung điểm của MC vì:

• MB = BC = 4 (cm)
• B nằm giữa M và C

c) 

Lấy I là trung điểm của MN thì I cũng là trung điểm của AP vì:

• I nằm giữa A và P
• AI = IP = 6 (cm)

7. 

a) Giả sử điểm O nằm giữa hai điểm M và N

Từ đó ta có MN = NO + OM = 3 + 4 = 7 (cm) (trái với đề bài MN = 5cm)

Do đó O không nằm giữa hai điểm M và N.

b) Chứng minh tương tự ta có M không nằm giữa O và N ; N không nằm giữa O và M

Vậy ba điểm M, N, O không thẳng hàng.

8. Ta xét hai trường hợp tổng quát:

- TH1: Hai điểm B và C ở cùng phía với điểm A

có 2 trường hợp sảy ra là : AB > AC và AB < AC. Không mất tính tổng quát ta lấy AB < AC

N là trung điểm của AC nên AN = NC = $\frac{1}{2}$AC

M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$AB

Từ (1) và (2) ta có: AN - AM = $\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$(AC - AB) (*)

Ta có: AB < AC nên B nằm giữa A và C nên AC = AB + BC $\Rightarrow $ BC = AC - AB (3)

AB <  AC nên AM < AN nên M nằm giữa A và N $\Rightarrow $ MN = AN - AM (4)

Từ (3) và (4) thay vào (*) suy ra MN = $\frac{1}{2}$BC

- TH2: Hai điểm B và C nằm khác phía với A suy ra M và N là hai trung điểm cũng nằm khác phía với A.

Không mất tính tổng quát chọn AB > AC

M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB

N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC

Suy ra AM + AN = $\frac{1}{2}$(AB + AC)

A nằm giữa B và C nên BC = AB + AC

A nằm giữa M và N nên MN = AM + AN = $\frac{1}{2}$AB +$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BC (đpcm)