Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng Toán 12 cd Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Câu 1: 

a) Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại ; giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại ; giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Ta có:

Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm số và đường thẳng .

Đồ thị hàm số được vẽ theo đồ thị hàm số bằng cách giữ nguyên phần bên phải trục tung, rồi lấy điểm đối xứng phần đó qua trục tung.

Theo đồ thị ta có:

+ hay : phương trình có 2 nghiệm.

+ : phương trình có 3 nghiệm.

+ : phương trình có 4 nghiệm.

Câu 2: 

a) Tập xác định: .

Ta có: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

Hàm số có điểm cực đại , giá trị cực đại ; hàm số có điểm cực tiểu , giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

và nên đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Lấy điểm trên đồ thị

Tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận là

Theo bất đẳng thức Cô-si,

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận là đạt được với hai điểm .

Câu 3: 

a)

Tập xác định: .

Ta có: 

Hàm số đồng nghịch trên các khoảng và ; hàm số đồng biến trên các khoảng và .

Hàm số có điểm cực đại , giá trị cực đại ; hàm số có điểm cực tiểu , giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

và nên đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Đường thẳng cắt tiệm cận đứng tại điểm có hoành độ . Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và tiệm cận xiên là: .

Đường thẳng cắt tiệm cận xiên tại điểm có hoành độ

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị  

Nếu đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm thì hoành độ của là nghiệm của phương trình trên. Suy ra .

Ta có

Suy ra hai đoạn và có cùng trung điểm.

Vậy .

Câu 4: 

a) Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

Giới hạn: nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

+ Viết lại

Cho . Để thì là ước số của 3. 

Trên đồ thị có bốn điểm mà tọa độ nguyên là .

b) Xét phương trình

Nhận xét không phải là nghiệm.

Với thì phương trình tương đương

Phương trình này là phương trình hoành độ giáo điểm của đồ thị và đường thẳng .

Đồ thị thị được vẽ theo đồ thị bằng cách giữ nguyên phần ứng với và lấy đối xứng qua trục hoành phần ứng với .

Dựa vào đồ thị, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Câu 5: 

a) Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại ; giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại ; giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Phương trình đường thẳng

phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng

Để cắt tại ba điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác . Điều kiện tương đương:

, trong đó .