Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng cao Toán 12 cd Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

01 Đề bài:

4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)

Câu 1: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuộc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong 1 giờ được tính theo công thức mg/L. Sau khi tiêm thuốc bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Câu 2: Một bể ban đầu chứa 200 lít nước. Sau mỗi phút, người ta bơm vào bể 40 lít nước và cho thêm vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau phút. Tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau phút. Ta xem nồng độ chất khử trùng là hàm số với .

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo nhưng không vượt ngưỡng gam/lít.

Câu 3: Xét một mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương như hình vẽ. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật . Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép ở đây thì diện tích mặt cắt là 1,2m². Để đảm bảo yêu cầu kĩ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài ngắn nhất.

a) Đặt , tính theo .

b) Khảo sát hàm số như trên.

c) Tìm để nhỏ nhất, biết rằng theo quy định thì đoạn (chiều rộng đáy mương)m phải dưới 10.

Câu 4: Nhà bạn V làm nghề dệt vải, sản xuất mỗi ngày được mét vải (). Tổng chi phí sản xuất mét vải, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: . Giả sử nhà bạn V bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi là số tiền bán được và là lợi nhuận thu được khi bán mét vải.

a) Hãy viết biểu thức tính và theo .

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên .

c) Nhà bạn V cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

02 Bài giải:

Câu 1: 

Xét hàm số

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất khi .

Câu 2: 

a) 

Thể tích sau nước sau phút là ((lít).

Khối lượng chất khử sau phút là (gam).

Nồng độ chất khử trùng sau phút là (gam/lít).

b) Ta có: .

- Tập xác định: .

- Sự biến thiên:

+ với mọi .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng .

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Do đó là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

c) Do là hàm tăng nên nồng độc hất khử trùng tăng theo thời gian. Tuy nhiên, do nên nồng độ này không vượt ngưỡng gam/lít.

Câu 3: 

a) Ta có:

Khi đó:

b) Xét hàm số

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số có điểm cực tiểu , giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

và nên đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

c) Từ đồ thị hàm số ta thấy với thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là . 

Câu 4:

a) Ta có:  

b) Xét hàm số

Ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng và hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại là

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

c) Ta thấy rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm .

Lợi nhuận tối đa là nghìn đồng.

Nhà bạn V cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải để thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.