Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng cao Toán 9 CTST bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

01 Đề bài:

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R và r. Dây MN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại A và B. Gọi BC là đường kính của đường tròn nhỏ. Tính giá trị của biểu thức theo R và r.

Câu 2: Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm bất kỳ nằm giữa A và B. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính CA; đường tròn tâm , đường kính CB.

a) Hai đường tròn (I) và (K) có vị trí như thế nào đối với nhau.

b) Đường vuông góc với AB tại C cắt đường tròn (O) ở D và E. DA cắt đường tròn (I) ở M, DB cắt đường tròn (K) ở N.

c) Xác định vị trí của C trên đường kính AB sao cho MN có độ dài lớn nhất.

d) Xác định vị trí của điểm C trên đường kính AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất.

Câu 3: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc (O) và (O’) lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E,F thứ tự là giao điểm của IO với AB của IO’ với AC.

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm K của đường tròn này.

b) Chứng minh: .

c) Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với .

d) Cho cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R’ để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

02 Bài giải:

Câu 1:

Kẻ . Đặt

Ta có:

Chứng minh được:

Câu 2:

a) Đường tròn (I) và đường tròn (K) tiếp xúc ngoài nhau tại C (vì )

b) Vì AC là đường kính của (I) nên vuông tại M

Tương tự ta có vuông tại N; vuông tại D

Suy ra tứ giác DMCN là hình chữ nhật

Gọi E là giao điểm của MN và DC. Ta có cân

Mà , do đó

Tương tự ta cũng có là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và .

c) Vì DMCN là hình chữ nhật nên có độ dài lớn nhất khi CD có độ dài lớn nhất

Ta có (không đổi), dấu “=” xảy ra khi

Vậy khi thì MN có độ dài lớn nhất là R

d) , có

có . Do đó

Lại có

Vậy diện tích tứ giác DMCN lớn nhất khi điểm C trùng với điểm O.

Câu 3:

Chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật và K là trung điểm của AI

b) Có:

c) PK là đường trung bình của và trung trực của EA

Ta có: đpcm

d)

mà

lớn nhất bằng a khi .