Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng cao Toán 12 cd Bài 2: Phương trình đường thẳng

01 Đề bài:

4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)

Câu 1: Cho hai đường thẳng và  và điểm . Gọi là đường thẳng vuông góc chung của và . Gọi là một điểm thuộc đường thẳng thì khi độ dài ngắn nhất, toạ độ của M bằng bao nhiêu?

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng .

a) Lập phương trình đường thẳng . 

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay và mặt phẳng nằm ngang ) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 3,5° hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm , . Tìm toạ độ của điểm là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm toạ độ của điểm trên đoạn thẳng là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m. 

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

Câu 3: Có một chiếc lồng bằng sắt dạng hình hộp chữ nhật có . Người thợ hàn muốn hàn một thanh sắt nối hai đoạn và . Tính chiều dài ngắn nhất của đoạn thanh sắt . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.

Câu 4: Cho hình lăng trụ có là tứ diện đều cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng và . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

02 Bài giải:

Câu 1:

Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường thẳng

Khi đó , ,

Do là đường thẳng vuông góc chung của và nên:

Suy ra

Vậy phương trình đường thẳng là:

Do là một điểm thuộc đường thẳng nên toạ độ của có dạng

Khi đó

Do đó độ dài ngắn nhất bằng

Vậy .

Câu 2: 

a) Ta có:

Phương trình đường thẳng là:

b) Phương trình mặt phẳng là . Ta có:

Vì 2,5° <3° <3,5° nên góc trượt của máy bay nằm trong phạm vi cho phép.

c) Phương trình mặt phẳng là:

Vì thuộc đường thẳng nên ().

Mà thuộc mặt phẳng nên

Suy ra

d) Vì thuộc nên (). Mà có cao độ là nên . 

Vậy .

e) Ta có: (km).

Vì 900 m = 0,9 km < 1,26 km nên phi công không nhìn thấy điểm và không đạt được quy định an toàn bay.

Câu 3:

Chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ trùng với và , , .

Phương trình đường thẳng :

Phương trình đường thẳng :

ngắn nhất khi và chỉ khi và

và  

và

Vậy (m).

Câu 4: 

Gọi là trung điểm của .

Chọn hệ trục toạ độ sao cho , , , ,

Ta có: là tứ diện đều cạnh nên

Lại có

Dễ thấy mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

là trung điểm của

là trung điểm của

Suy ra ,

Ta có:

Do đó mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Khi đó: