Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng cao Toán 12 cd Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

01 Đề bài:

4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)

Câu 1: Cho biết  (đơn vị: ) sinh bởi lực  tác dụng lên một vật được tính bằng công thức  trong đó là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị: mét) khi chịu tác dụng của lực . Một chiếc xe có khối lượng 1,5 tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêng  so với phương ngang. Tính công sinh ra bởi trọng lực  khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực  được xác định bởi công thức , với  (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và  là gia tốc rơi tự do có độ lớn .

Câu 2: Một chất điểm  nằm trên mặt phẳng nằm ngang , chịu tác động bởi ba lực . Các lực  có giá nằm trong  và () = 135, còn lực  có giá vuông góc với  và hướng lên trên. Xác định cường độ hợp lực của các lực  biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là 20N, 15N và 10N.

Câu 3: Một chiếc thúng đựng gạo được treo sao cho miệng thúng song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm  trên thanh gỗ nằm ngang và lần lượt buộc vào ba điểm  như hình. Biết rằng các dây  đôi một vuông góc và lực căng  trên mỗi dây có độ lớn đều bằng 21N (tham khảo hình vẽ bên). Tính trọng lượng của chiếc thúng đó.

Câu 4: Người ta treo cái chiêng đồng tại điểm , có khối lượng  kg trên trần nhà bằng các sợi dây xích tại các điểm . Để đảm bảo lực phân phối đều lên các dây và tính thẩm mĩ, người ta chọn độ dài các dây sao cho là tứ diện đều. Gọi  lần lượt là các lực căng của ba dây treo tại . Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng trường .

a) Tính cường độ (độ lớn) hợp lực của ba lực căng đã cho.

b) Tính cường độ (độ lớn) của lực căng trên mỗi dây.

02 Bài giải:

Câu 1: 

Ta có: 1,5 tấn = 1500kg

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên xe là

Vectơ  biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là  và

Công sinh ra bởi trọng lực khi xe đi hết đoạn đường đốc là:

Câu 2: 

Gọi  là hợp lực của các lực  tức là  ta có:

 

Vậy .

Câu 3: 

Không mất tổng quát, gọi

Ta có các dây  đôi một vuông góc và độ lớn  nên hình hộp  là hình lập phương có cạnh bằng 21.

Do chiếc thúng ở vị trí cân bằng bên trọng lực tác dụng lên chiếc thúng là:

(quy tắc hình hộp).

Vậy trọng lượng của chiếc thúng là: 

N.

Câu 4: 

a) Do lực phân phối đều lên các dây nên ta gọi .

Và  cũng là tứ diện đều, với đáy  có  là trọng tâm và . 

Theo tính chất trọng tâm:

.

Mặt khác, độ lớn của trọng lực tác dụng lên cái chiêng là:

.

Do cái chiêng ở vị trí cân bằng nên độ lớn của trọng lực bằng độ lớn của hợp lực.

Vậy cường độ của hợp lực là:

b) Ta có:

Đặt  là tứ giác đều cạnh , gọi  là trung điểm

Trong tam giác đều , có:

Xét tam giác  vuông tại , có:

.

Vậy cường độ của lực căng trên mỗi dây là  (N).