CHƯƠNG 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 5. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

HĐKP1:

a)

+ Chiều rộng của hình chữ nhật là $\frac{3}{a}$ (m)

+ Thời gian để làm được x sản phẩm là $\frac{x}{y}$ (giờ)

+ Năng suất trung bình của mảnh ruộng là $\frac{m+n}{a+b}$ (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều chứa phép tính chia (hoặc đều có dạng AB, với A và B là những đa thức nào đó) nên đều không phải là đa thức.

=> Kết luận:

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng AB, trong đó A,B là những đa thức và B khác đa thức không. 

A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu) 

Chú ý:

Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.

Ví dụ 1: (SGK – tr26)

HĐKP2 

$P=\frac{x^{2}-1}{2x+1}$

a) Tại x = 0, $P = \frac{0^{2}-1}{2.0+1}=-1$

b) Tại $x=-\frac{1}{2}$, giá trị của mẫu thức bằng $2.(-\frac{1}{2})+1 = -1+1= 0$

Giá trị của phân thức tại $x=-\frac{1}{2}$ không xác định, vì phép chia cho 0 không có nghĩa.

Kết luận:

Điều kiện xác định của phân thức AB là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức bằng các giá trị cho trước của biến (thoả mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.

Ví dụ 2: (SGK – tr27)

của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.

Thực hành 1:

a) Điều kiện xác định x+2 ≠ 0 nên x = -3 và x = 1 đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Với x = −3, giá trị của phân thức là −16. Với x = 1, giá trị của phân thức là 0.

b) Điều kiện xác định x + y 0 nên x = 3, y = −1 thoả mãn điều kiện xác định.

Tại x = 3, y = -1, giá trị của phân thức là -3.

Thực hành 2. 

a) $\frac{1}{a+4}$

ĐKXĐ: a + 4 $\neq$ 0 hay a $\neq$ -4

b) x – 2y $\neq$ 0

Vận dụng.

$C(x) = \frac{0,0002x^{2}+120x+1000}{x}$, 

Khi x = 100 thì C = 130,02.

Khi x = 1000 thì C = 121,2.

2. HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU

HĐKP3.

a) Khi x = 3, y = 2 thì:

+ M = $\frac{3}{2}$

+ N = $\frac{3^{2}-3}{3.2-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

M = N = $\frac{3}{2}$

Khi x = −1, y = 5 thì: 

+ M = $\frac{-1}{5}$ 

+ N = $\frac{(-1)^{2}-(-1)}{(-1).5-5}=\frac{2}{-10}=-\frac{1}{5}$

Dự đoán rằng hai phân thức nhận giá trị như nhau tại mọi giá trị của hai biến x và y ($y \neq 0, xy - y \neq 0$).

b) $x.(xy - y) = x^{2}y -xy$ 

và $y.(x^{2}-x) = x^{2}y-xy$

nên $x.(xy-y) = y.(x^{2}-x)$

Vậy hai đa thức nhận được bằng nhau (hay đồng nhất).

=> Kết luận:

Ta nói hai phân thức AB và CD bằng nhau nếu A.D = B.C. Khi đó, ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$

Ví dụ 3: SGK – tr28

Thực hành 3. 

a) $xy^{2}.(x+1) = x^{2}y^{2} + xy^{2}$; 

$(xy + y).xy = x^{2}y^{2} + xy^{2}$

Vậy $xy^{2}.(x+1) = (xy + y).xy$

b) $(xy - y).y = xy^{2}-y^{2}$; 

$x.(xy - x) = x^{2}y -x^{2}$

Do $xy^{2}-y^{2} \neq x^{2}y-x^{2}$ nên hai phân thức đã cho không bằng nhau.

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

HĐKP 4.

a) 

Xét hai phân thức $P=\frac{x^{2}y}{xy^{2}}$, và $Q=\frac{x}{y}$ ta có:

$x^{2}y.y = x^{2}y^{2}$;

$xy^{2}.x = x^{2}y^{2}$.

Do đó $x^{2}y.y = xy^{2}.x$

Vậy $x^{2}yxy^{2}=xy$ hay P = Q            (1)

+ Xét hai phân thức $Q=\frac{x}{y}$ và $R=\frac{x^{2}+xy}{xy+y^{2}}$ ta có:

$x.(xy + y^{2}) = x^{2}y + xy^{2}$;

$y.(x^{2} + xy) = x^{2}y + xy^{2}$.

Do đó $x.(xy + y^{2}) = y.(x^{2} + xy)$

Vậy $\frac{x}{y}=\frac{x^{2}+xy}{xy+y^{2}}$, hay Q = R      (2)

Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.

Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.

b) $Q=\frac{x}{y}=\frac{x.xy}{y.xy}$ (nhân cả tử thức và mẫu thức với $xy \neq 0$)

$=\frac{x^{2}y}{xy^{2}}=P$ 

Vậy nhân cả tử thức và mẫu thức của phân thức Q với xy thì ta nhận được phân thức P.

Tương tự, chia cả tử thức và mẫu thức của phân thức R cho x + y thì ta nhận được phân thức Q.

=> Kết luận:

+ Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.C}{B.C}$

(C là một đa thức khác đa thức không)

+ Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:D}{B:D}$

(D là một nhân tử chung của A và B).

Ví dụ 4: SGK – tr29

Nhận xét:

Ở Ví dụ 4, các phân thức bên phải đều đơn giản hơn phân thức bên trái. Ta gọi các phép biến đổi ở trên là rút gọn phân thức

Chú ý: Để rút gọn một phân thức, ta thường thực hiện như sau: 

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Ví dụ 5: SGK – tr29

Thực hành 4. 

+ C1: Sử dụng định nghĩa:

$(a^{2}- b^{2}).ab = a^{3}b -ab^{3}$;

$(a^{2}b + ab^{2})(a-b) = a^{3}b-a^{2}b^{2}+ a^{2}b^{2}-ab^{3}= a^{3}b-ab^{3}$.

Do đó $(a^{2}-b^{2}).ab = (a^{2}b + ab^{2})(a-b)$.

+ C2: Dùng tính chất:

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{(a+b).(a-b)}{ab.(a+b)}=\frac{a-b}{ab}$

Thực hành 5: 

a) $\frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}=\frac{3x.(x+2y)}{3x.2x}=\frac{x+2y}{2x}$

b) $\frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}.(2-x)}{(x+2).(x-2)}=\frac{-x^{2}}{x+2}$ 

c) $\frac{x+1}{x^{3}+1}=\frac{x+1}{(x+1).(x^{2}-x+1)}=\frac{1}{x^{2}-x+1}$