I. ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN

1. Khái niệm

HĐ1:

a)

• Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x (cm) là: S = x² (cm).
• Diện tích của hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt 2x (cm), 3y (cm) là: S = 2x . 3y = 6xy (cm²).
• Thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt x (cm), 2y(cm), 3z (cm) là: S = x . 2y . 3z = 6xyz (cm³).

b)

• Biểu thức x² gồm phần số là 1, phần biến là x² và phép tính là phép nâng lên lũy thừa.  
• Biểu thức 6xy gồm phần số là 6, phần biến là xy và phép tính là phép nhân.
• Biểu thức 6xyz gồm phần số là 6, phần biến là xyz và phép tính là phép nhân.

Kết luận: Đơn thức nhiều biến (hay đơn thức) là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Ví dụ 1. (SGK-tr6)

Luyện tập 1.

• 5y là đơn thức;
• y + 3z không phải là đơn thức;
• $\frac{1}{2}$x³y²x²z là đơn thức.

Vậy những biểu thức 5y; $\frac{1}{2}$x³y²x²z là đơn thức.

2. Đơn thức thu gọn

HĐ2.

Trong đơn thức 2x³y⁴

• Biến x được viết một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương là 3.
• Biến y được viết một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương là 4.

Kết luận:

• Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương và chỉ được viết một lần.
• Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

Ví dụ 2: (SGK -tr6)

Chú ý:

• Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn
• Từ nay, khi nói đến đơn thức, nếu không nói gì thêm, ta hiểu dó là đơn thức thu gọn.

Luyện tập 2:

Thu gọn các đơn thức đã cho, ta được:

• y³y²z = y⁵z;
• $\frac{1}{3}$xy²x³z = $\frac{1}{3}$.(x.x³).y².z = $\frac{1}{3}$x⁴y²z

3. Đơn thức đồng dạng

HĐ3:

a)

• Đơn thức 2x³y⁴ có hệ số là 2;
• Đơn thức −3x³y⁴ có hệ số là −3.

b)

• Đơn thức 2x³y⁴ có phần biến là x³y⁴;
• Đơn thức −3x³y⁴ có hệ số là x³y⁴.

Phần biến của hai đơn thức đã cho là như nhau.

=> Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ 3: (SGK-tr7)

Luyện tập 3:

a) Các đơn thức x²y⁴; −3x²y⁴ và $\sqrt{5}x^{2}y^{4}$ có cùng phần biến là x²y⁴.

Do đó, các đơn thức x²y⁴; x²y⁴; −3x²y⁴ và $\sqrt{5}x^{2}y^{4}$ đồng dạng.

b) Đơn thức −x²y²z² có phần biến là x²y²z² . Còn đơn thức −2x²y²z³ có phần biến là x²y²z³.

Vì hai đơn thức −x²y²z² và −2x²y²z³ có phần biến khác nhau nên hai đơn thức này không đồng dạng.

4. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

HĐ4:

a) Ta có: 5x³ + 8x³ = (5 + 8)x³ = 13x³;

b) Ta có: 10y⁷ − 15y⁷ = (10 – 15)y⁷ = −5y⁷.

=> Quy tắc: Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ 4. (SGK-tr8)

Luyện tập 4:

a) 4x⁴y⁶ + 2x⁴y⁶ = (4 + 2)x⁴y⁶ = 6x⁴y⁶;

b) 3x³y⁵ – 5x³y⁵ = (3 – 5)x³y⁵ = – 2x³y⁵.

II. ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

1.Khái niệm

HĐ5:

a) Biểu thức x² + 2xy + y² có hai biến x, y.

b) Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức là các đơn thức (lũy thừa, tích giữa số và các biến).

Kết luận: Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là một tổng của những đơn thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.

Ví dụ 5: SGK – tr8

Luyện tập 5.

Biểu thức y+3z+$\frac{1}{2}$y²z là đa thức, còn biểu thức $\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$ không phải là đa thức.

2. Thu gọn đa thức

HĐ6. Ta có:

P = x³ + 2x²y + x²y + 3xy² + y³

= x³ + (2x²y + x²y) + 3xy² + y³

= x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Kết luận: Thu gọn đa thức là làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ 6. (SGK-tr 9)

Luyện tập 6.

R = x³ – 2x²y – x²y + 3xy² – y³

= x³ – (2x²y + x²y) + 3xy² – y³

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³.

3. Giá trị của đa thức

HĐ7:

Đa thức P được xác định bằng biểu thức x² – y²

Giá trị của P tại x = 1; y = 1 là:

1² – 1² = 1 – 1 = 0.

Ví dụ 7. (SGK - tr9)

Luyện tập 7.

Giá trị của đa thức Q tại x = 2; y = 1 là:

Q = 2³ – 3 . 2² . 1 + 3. 2 . 1² – 1³

= 8 – 3 . 4 + 3. 2 – 1

= 8 – 12 + 6 – 1

= – 4 + 5

= 1.