CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐKP 1: 

a) $\left\{\begin{matrix}0,2x + 0,1y\leq 9 & \\ x\geq 0 & \\ y\geq 0 &\end{matrix}\right.$

b) Cặp số (20; 40) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên.

Kết luận:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x$_{0}$;y$_{0}$) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ 1 (SGK – tr33)

Thực hành 1: 

a) (0; 0) và (0; 1) là hai nghiệm của bất phương trình.

c) (0; 0) và (1; -1) là hai nghiệm của bất phương trình.

d) (0; 1) và ( 1; 1) là hai nghiệm của bất phương trình trên.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 

HĐKP 2:

Miền không gạch chéo trong hình 1 là miền biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho.

Kết luận:

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

- Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

- Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ví dụ 2 (SGK -tr34)

Ví dụ 3 (SGK -tr35)

Chú ý:

Miền đa giác là miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó.

Ví dụ: ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trong Ví dụ 3 là miền tứ giác OABC.

Thực hành 2:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm các cạnh) là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC F = ax + by TRÊN MỘT MIỀN TAM GIÁC

Nhận xét:

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = ax + by, với (x; y) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác A$_{1}$A$_{2}$...A$_{n}$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ 4 (SGK -tr35)

Các bước khai giải bài toán tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác:

+ Bước 1: Đặt x, y cho ẩn số cần tìm.

+ Bước 2: Lập hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc.

+ Bước 3: Xác định tọa độ đỉnh của miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Bước 4: Tính giá trị của biểu thức F = ax + by tại các đỉnh của đa giác để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

+ Bước 5: Nêu kết luận phù hợp với yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 5 (SGK -tr36)

Vận dụng:

Gọi x và y là số lít nước cam loại A và B người bán cần pha chế. Ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc:

$\left\{\begin{matrix}3x+y≤21 & \\ x+y≤9 & \\ x+4y≤24 & x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{matrix}\right.$

Miền nghiệm là đa giác có toạ độ các đỉnh là O(0;0),A(0;6),B(4;5),C(6;3),D(7;0).

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) người đó thu được. 

Ta có F=60x+80y. Tính giá trị của F tại các đỉnh, ta thấy F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 nghìn đồng tại đỉnh B(4;5).

Vậy người bán nên pha chế 4l nước cam loại A và 5l nước cam loại B thì có doanh thu cao nhất.