Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 CTST Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nội dung giáo án

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG

Quan sát đồ thị bên và cho biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 3].

Giá trị lớn nhất của hàm số là 0 tại điểm . 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 tại điểm . 

BÀI 2:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I.

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

Trả lời câu hỏi:

Nêu khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn?

1. ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số có đạo hàm trên tập hợp .

Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu với mọi thuộc và tồn tại thuộc sao cho . 

Kí hiệu .

Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu với mọi thuộc và tồn tại thuộc sao cho

Kí hiệu .

Chú ý

Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà không cho rõ tập hợp ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định của nó.

Ví dụ:

Xét hàm số .

• Tập xác định:
• Ta có: với mọi .

Mặt khác:

Vậy .

Chú ý

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Ví dụ:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng .

Giải:

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và hàm số không có giá trị lớn nhất trên .

2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Bước 1:

Tìm các điểm thuộc khoảng mà tại đó bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2:

Tính .

Bước 3:

Gọi là số lớn nhất và là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó:

Ví dụ:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Giải

Ta có:

Có:

Vậy

II.

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG

DẠNG 1:

Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên

Phương pháp giải:

• Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

Hàm số liên tục trên đoạn và . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số là .

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Hàm số liên tục trên đoạn và . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là .

• Hàm số đồng biến trên đoạn thì ; .
• Hàm số nghịch biến trên đoạn thì ; .

Bài 1:

Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn . 

Tính giá trị của .

Giải

Từ đồ thị ta thấy:

 .

Vậy .

Bài 2:

Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải

Trên đoạn ta có giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi . 

Khi đó, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

 .

Bài 3:

Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình:

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-2; 4].

Giải

Từ đồ thị ta thấy:

Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất là khi và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là khi .

Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Giải

Đặt . 

Từ đồ thị đã cho ta có: để .

Và thì

Vậy khi .

         khi .

DẠNG 2:

Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

--------------- Còn tiếp ---------------