Giải câu 4 đề 10 ôn thi toán lớp 9 lên 10

a) Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b. Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => $\frac{MN}{MC}=\frac{MI}{MK}$ => MN.MK = MC.MI

c) Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180o (1)

Xét đường tròn (O) có:

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180o (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\widehat{KIN}=\widehat{ABN}& & \\ \widehat{BAC}=\widehat{IKC}& & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}AH//KI& & \\ AK//HI& & \end{matrix}\right.$

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi.