Giải câu 3 bài tập cuối chương IX

a. Đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (1; -1) và $\vec{n_{2}}$ = (1; 1).

Ta có: $\vec{n_{1}}$. $\vec{n_{2}}$ = 1. 1 + (-1). 1 = 0 nên $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ vuông góc $\Rightarrow$ $d_{1}$ $\perp$ $d_{2}$ $\Rightarrow$ ($d_{1}$, $d_{2}$) = $90^{\circ}$.

Giao điểm M của $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = -3 \\y = -1\end{matrix}\right.$

Vậy $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại M(-3; -1).

b. Ta có: $\vec{u_{1}}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của $d_{1}$ $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ = (2; -1) là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$.

Phương trình tổng quát của $d_{1}$ đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\vec{n_{1}}$ = (2; -1) làm vectơ pháp tuyến là: $2(x - 1) - (y - 3) = 0$ $\Leftrightarrow$ $2x - y + 1 = 0$

Đường thẳng $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}}$ = (1; -3)

Ta có: $\frac{2}{1}$ $\neq$ $\frac{-1}{-3}$ $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương.

$\Rightarrow$ $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau. Giao điểm M của $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = \frac{-1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{matrix}\right.$

Ta có: cos($d_{1}$, $d_{2}$) = $\frac{|2. 1 + (-1). (-3)|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + (-3)^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow$ ($d_{1}$, $d_{2}$) = $45^{\circ}$

Vậy $d_{1}$ cắt $d_{2}$ tại điểm M($\frac{-1}{5}$; $\frac{3}{5}$) và ($d_{1}$, $d_{2}$) = $45^{\circ}$.

c. Phương trình tổng quát của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt là:

$d_{1}$: $3x + y - 11 = 0$ và $d_{2}$: $x - 3y + 8 = 0$

Ta có: $\vec{n_{1}}$. $\vec{n_{2}}$ = 3. 1 + 1. (-3) = 0 $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\perp$ $\vec{n_{2}}$ hay $d_{1}$ $\perp$ $d_{2}$ $\Rightarrow$ ($d_{1}$, $d_{2}$) = $90^{\circ}$.

Giao điểm M của đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại M($\frac{5}{2}$; $\frac{7}{2}$).