Giải Bài tập 7.7 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$. Khi đó, $SO$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và đi qua trung điểm $O$ của đường chéo $AC$ của hình chữ nhật.

Vì $SA \perp (ABCD)$, nên $SA \perp (ABCD)$, $SA // SO$. Do đó, $SAOM$ là hình bình hành. Vì $OM \perp SB$, nên $AM \perp SB$. Tương tự, ta chứng minh được $AN \perp SD$.

Ta có $SM // ND$ vì $SM$ và $ND$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ và đi qua cùng một điểm $A$. Vậy, $\widehat{ AMN} = \widehat{ BMS} = \widehat{ SBC}$. Như vậy, $AM \perp (SBC)$. Tương tự, ta chứng minh được $AN \perp (SCD)$.

Cuối cùng, ta chứng minh được $SC\perp (AMN)$ như sau: Vì $AM$ vuông góc với $SB$ nên $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$. Tương tự, $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Do đó, $SC$ là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$, suy ra $SC\perp (AMN)$.