Giải bài tập 4.26 trang 59 SBT toán 10 tập 1 kết nối
Bài tập 4.26. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
a) Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}$ có độ dài ngắn nhất.
b) Tim toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho |$2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$| đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho |$\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$| = CD.
Trả lời:
a) Giả sử E(0; $y _{E}$) với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:
$\overrightarrow{EC} = (1; 6 - y _{E})$ và $\overrightarrow{ED} = (11; 2 - y _{E})$
$\Rightarrow \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = (12; 8 - 2y _{E})$
$\Rightarrow |\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}| = \sqrt{(12^{2}) + (8 - 2y _{E})^{2}}$
Có $(8 - 2y _{E})^{2}$ \geq 0 \forall y _{E}$
Nên $12^{2} + (8 - 2y _{E})^{2} \geq 12 \forall y _{E}$
$\Rightarrow |\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}| \geq 12 \forall y _{E}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $8 - 2y _{E} = 0$
$\Rightarrow y _{E} = 4$
Vậy với E(0; 4) thì vectơ $\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}$ có độ dài ngắn nhất
b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:
$\overrightarrow{FC}$ = (1 - a; 6) $\Rightarrow 2\overrightarrow{FC}$ = (2 - 2a; 12)
$\overrightarrow{FD}$ = (11 - a; 2) $\Rightarrow 3\overrightarrow{FD}$ = (33 - 3a; 6)
$\Rightarrow 2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$ = (35 - 3a; 18)
$\Rightarrow |2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}| = \sqrt{(35 - 3a)^{2} + 18^{2}}$
Vì $(35 - 3a)^{2} \geq 0 \forall a$
Nên $(35 - 3a)^{2} + 18^{2} \geq 18 \forall a$
$\Rightarrow |2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}| \geq 18 \forall a$
Do đó |$2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $35 - 5a = 0$
$\Rightarrow a = 7$
Vậy với F(7; 0) thì vectơ |$2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$| đạt giá trị nhỏ nhất
c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn |$\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$| = CD với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:
$\overrightarrow{CD}$ = (10; -4)
$\Rightarrow CD = |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{10^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{29}$
Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có: I (6; 4)
$\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MI}$
$\Rightarrow |\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = |2\overrightarrow{MI}| = 2.MI$
Có $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$| = CD \Leftrightarrow 2.MI = CD$
$\Leftrightarrow IM = \frac{CD}{2} = \frac{2\sqrt{29}}{2} = \sqrt{29}$
Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính R = $\sqrt{29}$
Bình luận