Giải bài tập 32 trang 74 SBT toán 10 tập 2 cánh diều
32. Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B.
b*) Tìm tọa độ điểm N thuộc ∆ sao cho $|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}|$ có giá trị nhỏ nhất.
a) Do M thuộc đường thẳng ∆ nên M(t; 4 – 2t).
Suy ra $\overrightarrow{AM}=(t+2;2-2t)$ và $\overrightarrow{BM}=(t-7;-1-2t)$
Do M cách đều 2 điểm A, B nên MA = MB.
Hay $|\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{BM}|$
$\Leftrightarrow\sqrt{(t+2)^{2}+(2-2t)^{2}}=\sqrt{(t-7)^{2}+(-1-2t)^{2}}$
⇔ $5t^{2} – 4t + 8 = 5t^{2} – 10t + 50$
⇔ 6t = 42
⇔ t = 7
Vậy M(7; -10).
b) Do N thuộc đường thẳng ∆ nên N(m; 4 – 2m).
Suy ra $\overrightarrow{NA}=(-2-m;2m-2), \overrightarrow{NB}=(7-m;2m+1)$ và $\overrightarrow{NC}=(4-m;2m-9)$
$\Rightarrow \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=(9-3m;6m-10)$
$\Rightarrow |\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}|=\sqrt{(9-3m)^{2}+(6m-10)^{2}}$
Gọi $A=(9-3m)^{2}+(6m-0)^{2}$
$A=45m^{2}-174m+181=45(m-\frac{29}{15})+\frac{64}{5}\geq \frac{64}{5}$
Suy ra GTNN của $|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}|$ là $\frac{8}{\sqrt{5}}$ đạt được khi $m=\frac{29}{15}$
Hay $N(\frac{29}{15};\frac{2}{15}$
Bình luận