Giải bài tập 2.22 trang 38 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 5^(2) = 25 = 3^(2) + 4^(2).                                              

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^(k) ≥ 3^(k) + 4^(k).

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với

n = k + 1,

nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^(k + 1) ≥ 3^(k + 1) + 4^(k + 1).

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5^(k + 1) = 5.5^(k) ≥ 5(3^(k) + 4^(k))

= 5. 3^(k) + 5.4^(k) ≥ 3. 3^(k) + 4.4^(k) 

= 3^(k + 1) + 4^(k + 1).

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.