Giải bài tập 2.21 trang 38 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1.

Với n = 0 ta có 10^(2.0 + 1) + 1 = 11⁝11.                                        

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 10(2k + 1) + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 10^(2(k + 1) + 1) + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

10^(2(k + 1) + 1) + 1

= 10^((2k + 1) + 2 )+ 1

= 100.10^(2k + 1) + 1

= 100.10^(2k + 1) + 100 – 100 + 1

= 100(10^(2k + 1) + 1) – 100 + 1

= 100(10^(2k + 1) + 1) – 99.

Vì 10^(2k + 1) + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(10^(2k + 1) + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 10^(2(k + 1) + 1) + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.