Giải bài tập 2.19 trang 38 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n = 1 ta có 2.$2^1$ = 4 = 1.$2^{1+1}$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (k + 1).$2^k$ = k.$2^{k+1}$.

Chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (k + 1).$2^k$ + [(k + 1) + 1].$2^{k+1}$ = (k + 1)$2^{\left ( k+1 \right)+1}$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (k + 1).$2^k$ + [(k + 1) + 1].$2^{k+1}$ 

=k.$2^{k+1}$ +[(k+1) +1].$2^{k+1}$ 

=(2k+2).$2^{k+1}$ 

=(k+1).2.$2^{k+1}$ 

=(k+1). $2^{k+2}$

(k+1). $2^{\left ( k+1 \right)+1}$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.