Giải bài 5.2 trang 56 sbt toán 9 tập 2: Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{matrix}{b^2} + {c^2} \ne 0 & \\ \Delta ' \ge 0 & \end{matrix}\right.\)

Ta có \({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

\(\Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \)

\(= {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \)

\(= - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \)

\(= {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \)

\(\Delta ' \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0\)

Vì \({b^2} \ge 0 \Rightarrow  - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)

Vậy với \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.