Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$

I.Phương pháp giải 

Cách 1:

• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng $d_{1}$.
• Tìm giao điểm B của (P) với $d_{2}$.
• Đường thẳng d cần tìm đi qua A và B

Cách 2: 

• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng $d_{1}$.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa $d_{2}$.
• Đường thẳng d cần tìm là giao điểm của hai mặt phẳng trên.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;1), cắt đường thẳng $d_{1}: \frac{x+2}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-2}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$: $\left\{\begin{matrix}x=-2+2t\\ y=-5t\\ z=2+t\end{matrix}\right.$

Bài giải:

Ta gọi mp (P) đi qua M và vuông góc với $d_{2}$.

Mặt phẳng (P) vuông góc với $d_{2}$ nên nhận VTCP của $d_{2}$ làm VTPT. Do đó (P) có phương trình: 2(x-1) - 5(y-1) +(z-1) = 0 hay 2x - 5y +z + 2 = 0.

Toạ độ giao điểm A của (P) với $d_{1}$ là (-5;-1;3)

$\Rightarrow \vec{AM}=(6;2;-2)=2(3;1;-1)$

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là:  $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$.

Bài tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;3) và hai đường thẳng: $d_{1}: \frac{x-4}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{-2}$, $d_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng  $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$.

Bài giải: 

Gọi $M=d\cap d_{2}$. Ta có $d_{2}: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=-1-t \\z=1+t \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow M(t+2;-1-t;t+1)$

$\Rightarrow \vec{AM}=(t+1;-t;t-2)$ là một VTCP của d.

$d_{1}$ có 1 VTCP là \vec{u}=(1;4;-2).

d\perp d_{1}\Leftrightarrow \vec{u}.\vec{AM}=0\Leftrightarrow (t+1)-4t-2(t-2)=0\Leftrightarrow t=1.

\Rightarrow \vec{AM}=(2;-1;-1)

Do đó d đi qua A(1;-1;3) và nhận \vec{AM}=(2;-1;-1) là một VTCP, có phương trình tổng quát:

$d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{-1}$