Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

I.Phương pháp giải

Cách 1:

• Tìm toạ độ 2 điểm A, B thuộc d ( Tìm nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0\\ A^{'}x+B^{'}y+C^{'}z+D^{'}=0\end{matrix}\right.$).
• Viết phương trình đi qua 2 điểm A và B.

Cách 2: Đặt 1 trong ba ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ hai phương trình với hai ẩn còn lại theo t rồi suy ra phương trình tham số của d.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y - z - 3 = 0 và (Q): x + y + z - 1 = 0.

Bài giải:

Ta tìm toạ độ hai điểm A, B thuộc (d) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0\\ x + y + z - 1 = 0\end{matrix}\right.$.

Chọn z = 0 suy ra x = 2 và y = -1 $\Rightarrow $ A(2;-1;0)

Chọn z = 1 suy ra x = 4 và y = -4$\Rightarrow $ B(4;-4;1).

$\Rightarrow \vec{AB}=(2;-3;1)$

Do đó đường thẳng (d) đi qua A(2;-1;0) và có vecto chỉ phương $\vec{AB}=(2;-3;1)$ có phương trình chính tắc là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$.

Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z - 2 = 0 và (Q):2x + 3y - z = 0.

Bài giải: 

Toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) thoả mãn hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x + y - z - 2 = 0\\ 2x + 3y - z = 0\end{matrix}\right.$.

Đặt x = t, ta có:

$\left\{\begin{matrix} t+ y - z - 2 = 0\\ 2t+ 3y - z = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  y - z  = 2-t\\ 3y - z = -2t\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  y  = -1-\frac{1}{2}t\\ z = -3+\frac{1}{2}t\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là: $\left\{\begin{matrix}x=t\\y  = -1-\frac{1}{2}t \\ z = -3+\frac{1}{2}t\end{matrix}\right.$