BÀI 23. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. CỘNG HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

HĐ1

Tổng của hai tử thức: 

2x+y-x+3y=x+4y 

HĐ2

Kết quả: $\frac{x+4y}{x-y}$

Quy tắc

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}$+$\frac{B}{M}$=$\frac{A+B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ 1: (SGK – tr.15)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.15)

Luyện tập 1

a) $\frac{3x+1}{xy}$+$\frac{2x-1}{xy}$=$\frac{5x}{xy}$=$\frac{5}{y}$

b) $\frac{3x}{x^{2}+1}$+$\frac{-3x+1}{x^{2}+1}$=$\frac{1}{x^{2}+1}$

II. CỘNG HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU

HĐ3

MTC: xy

Thực hiện quy đồng ta được: $\frac{1}{x}$=$\frac{y}{xy}$ và $\frac{-1}{y}$=$\frac{-x}{xy}$

HĐ4

Kết quả: $\frac{y}{xy}$+$\frac{-x}{xy}$=$\frac{y-x}{xy}$

Quy tắc

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ 2: (SGK – tr.16)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.16)

Luyện tập 2

$\frac{5}{2x^{2}(6x+y)}$+$\frac{3}{5xy(6x+y)}$

MTC: 10x$^{2}$y(6x+y)

Quy đồng ta được và thực hiện phép tính ta được

$\frac{5}{2x^{2}(6x+y)}$+$\frac{3}{5xy(6x+y)}$

=$\frac{5.5y}{10x^{2}y(6x+y)}$+$\frac{3.2x}{10x^{2}y(6x+y)}$

=$\frac{6x+25y}{10x^{2}y(6x+y)}$

III. TRỪ HAI PHÂN THỨC

HĐ5

$\frac{x-1}{x+1}$-$\frac{2x+3}{x+1}$=$\frac{-x-4}{x+1}$

HĐ6

MTC: x(x+1)

Quy đồng và thực hiện phép tính ta được:

$\frac{x}{x(x+1)}$-$\frac{x+1}{x(x+1)}$=$\frac{1}{x(x+1)}$

Quy tắc

+ Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

+ Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ 3: (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.17)

Luyện tập 3

a) $\frac{3-2x}{x-1}$-$\frac{2+5x}{x-1}$=$\frac{3-2x-2-5x}{x-1}$=$\frac{1-7x}{x-1}$

b) $\frac{1}{4x^{2}y}$-$\frac{1}{6xy^{2}y}$; MTC: 12x$^{2}$y$^{2}$

$\frac{3y}{12x^{2}y^{2}}$-$\frac{2x}{12x^{2}y^{2}}$=$\frac{3y-2x}{12x^{2}y^{2}}$ 

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau:

$\frac{A}{B}$-$\frac{C}{D}$=$\frac{A}{B}$+$\frac{-C}{D}$

Lưu ý: 

$\frac{-C}{D}$ gọi là phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$ và kí hiệu là -$\frac{C}{D}$; Tổng của một phân thức và phân thức đối của nó bằng 0.

IV. CỘNG, TRỪ NHIỀU PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Câu hỏi

Vì có thể xem phép trừ phân thức cũng như phép cộng, nên ta có:

$\frac{x}{x-1}$-$\frac{1}{x^{2}-1}$=$\frac{x}{x-1}$+$\frac{-1}{x^{2}-1}$ 

Ví dụ

($\frac{x}{x-1}$+$\frac{xy}{y+1}$)-($\frac{x}{x-1}$+$\frac{2}{x}$)-$\frac{xy}{y+1}$

=($\frac{x}{x-1}$-$\frac{x}{x-1}$)+($\frac{xy}{y+1}$-$\frac{xy}{y+1}$)-$\frac{2}{x}$=-$\frac{2}{x}$ 

=> Cũng như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp.

Ví dụ 4: (SGK – tr.18)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18)

Chú ý

Ta cũng có thể viết:

$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=0+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{y}$ 

Tổng quát, trong các biểu thức ta có thể đổi chỗ các số hạng kèm theo dấu của nó.

Luyện tập 4

P=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$

P=$\frac{1}{z}$

Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc

Ví dụ

Thực hiện bỏ dấu ngoặc, ta được:

($\frac{x+1}{3}$-$\frac{x}{x-1}$)=$\frac{x+1}{3}$-$\frac{x}{x-1}$ 

-($\frac{x}{x+1}$-$\frac{3x}{5}$)=-$\frac{x}{x+1}$+$\frac{3x}{5}$

Quy tắc dấu ngoặc

+ Nếu trước dấu ngoặc có dấu "+" thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

+ Nếu trước dấu ngoặc có dấu "-" thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.

Ví dụ 5: (SGK – tr.18)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18)

Luyện tập 5

P=$\frac{x}{x+1}$-[($\frac{1}{x-1}$)+$\frac{x}{x+1}$)-$\frac{1}{x-1}$]

Sử dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta được:

P=$\frac{x}{x+1}$-$\frac{x}{x+1}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-1}$ 

P=0 

Vận dụng

a) • Ô tô chạy 20 km trong thành phố với vận tốc x (km/h) thì thời gian ô tô chạy trong thành phố là: $\frac{20}{x}$ (giờ).

• Tương tự, thời gian xe chạy trên cao tốc là $\frac{50}{x+55}$ (giờ).

b) Thời gian chạy thêm sau khi ra khỏi cao tốc là $\frac{15}{60}$=$\frac{1}{4}$ (giờ)

Tổng thời gian đi từ Hà Nội về quê là:

$\frac{20}{x}$+$\frac{50}{x+55}$+$\frac{1}{4}$ (giờ)

Viết tổng trên thành một phân thức:

$\frac{80(x+55)+200x+x(x+55)}{4x(x+55)}$

=$\frac{x^{2}+335x+4400}{4x(x+55)}$