Giải chuyên đề Toán 12 chân trời Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải quyết bài toán tối ưu

Hướng dẫn giải Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải quyết bài toán tối ưu bộ sách mới chuyên đề học tập Toán 12 chân trời sáng tạo. Bộ sách được biên soạn theo định hướng đổi mới giáo dục phổ thông nhằm phát triển toàn diện phẩm chất, năng lực của học sinh. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết dưới đây các em sẽ nắm bài học tốt hơn.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

1. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 15 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là 500 dm³ (Hình 1). Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ 3 dm đến 10 dm.

a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là x (dm), chiều cao của thùng là h (dm) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu S, có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?

b) Có thể biểu thị tổng diện tích S theo x không? Biến x nhận giá trị trong miền nào?

c) Với giá trị nào của x thì S có giá trị nhỏ nhất?

Giải chi tiết thực hành 1 trang 17 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

A diagram of a triangle with lines and points

Description automatically generated

Giải chi tiết thực hành 2 trang 18 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

 Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng a (cm) không đổi (Hình 5). Gọi α là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên ( < α < π). Tìm α để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

2. GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ

Giải chi tiết thực hành 3 trang 19 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo:

Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất x sản phẩm mỗi tháng là

C(x) = 5000 + 50x + 0,005x² (nghìn đồng).

a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.

b) Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm thấp nhất?

Giải chi tiết thực hành 4 trang 20 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Cơ sở A chuyên cung cấp một loại sản phẩm nông nghiệp X cho nhà phân phối B. Hai bên thoả thuận rằng, nếu đầu tháng B đặt hàng x tạ sản phẩm X thì giá bán mỗi tạ sản phẩm là P(x) = 5 - 0,0005x² (triệu đồng) (x ≤ 40). Chi phí A phải bỏ ra cho x tạ sản phẩm X trong một tháng là

 C(x) = 10 + 3, 5x (triệu đồng).

a) Nếu trong một tháng A bán x tạ sản phẩm X cho B thì A nhận được bao nhiêu doanh thu, bao nhiêu lợi nhuận?

b) Trong một tháng B đặt hàng bao nhiêu tạ sản phẩm X từ A thì A nhận được lợi nhuận lớn nhất?

Giải chi tiết vận dụng trang 20 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A. Với mỗi sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận. Qua khảo sát, người ta thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A. Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

GIẢI BÀI TẬP 

Giải chi tiết bài 1 trang 20 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo:

Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang 2 có diện tích 2 m². Các kích thước x, y (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.

A diagram of a rectangular object with lines and arrows

Description automatically generated

Giải chi tiết bài 2 trang 20 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Người ta muốn xây một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích 1800 m³ và chiều sâu 2 m (Hình 7). Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể. Cần chọn chiều dài và chiều rộng của bể bằng bao nhiêu để tiết kiệm chi phí xây dựng bể nhất?

Giải chi tiết bài 3 trang 20 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là nhỏ nhất?

A diagram of a rectangular object with a square and a square with a square in the middle

Description automatically generated

Giải chi tiết bài 4 trang 21 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí A cách bờ biển 3 km, B là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí C trên bờ biển, cách vị trí B một khoảng 4 km (Hình 9). Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng AD và DC (D là một vị trí nằm giữa B và C). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của D như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?

Giải chi tiết bài 5 trang 21 chuyên đề toán 12 chân trời sáng tạo

Tại một xí nghiệp, nếu trong một tuần xí nghiệp sản xuất x nghìn sản phẩm thì chi phí sản xuất gồm: 10 triệu đồng chi phí cố định, 3 triệu đồng cho mỗi nghìn sản phẩm và 0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng thiết bị.

a) Tính chi phí trung bình trên mỗi nghìn sản phẩm theo x.

b) Mỗi tuần xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất?

Thêm kiến thức môn học

Từ khóa tìm kiếm:

Giải chuyên đề Toán 12 chân trời sáng tạo, giải Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải quyết chuyên đề học tập Toán 12 chân trời, giải chuyên đề học tập Toán 12 CTST Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải quyết

Bình luận

Giải bài tập những môn khác