Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 9 KNTT bài 13: Mở đầu về đường tròn

Nội dung giáo án

THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

Cho hình chữ nhật ABCD, hãy chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm đối xứng của đường tròn

KHỞI ĐỘNG

KHỞI ĐỘNG

Giải

Gọi AC và BD giao nhau tại O

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD (tính chất hình chữ nhật)

O cách đều 4 đỉnh A, B, C, D nên 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm O.

Điểm O là tâm đối xứng của đường tròn

BÀI 13.

MỞ ĐẦU VỀ ĐƯỜNG TRÒN

CHƯƠNG V: ĐƯỜNG TRÒN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Đường tròn

Đường tròn: Đường tròn tâm bán kính , kí hiệu là , là hình gồm tất cả các điểm cách điểm một khoảng bằng .

• Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm là .

Nhận xét:

1. Vị trí của một điểm với một đường tròn:

• Điểm nằm trên đường tròn nếu
• Điểm nằm trong đường tròn nếu
• Điểm nằm ngoài đường tròn nếu

Nhận xét:

2. Hình tròn tâm bán kính là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn

Ví dụ: Cho đường tròn và điểm cách một khoảng . Vẽ hình và cho biết vị trí của điểm với đường tròn .

Giải

Điểm nằm ngoài đường tròn.

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.
• Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.
• Ví dụ: Cho đường tròn

2. Tính đối xứng của đường tròn

• Tâm đối xứng của đường tròn là tâm
• Một trục đối xứng của đường tròn là đường kính

Ví dụ: Cho tam giác ABC có . Chứng minh ba điểm thuộc một đường tròn và trục đối xứng của đường tròn đó là cạnh ?

2. Tính đối xứng của đường tròn

* Xét có:

Hay

nên vuông tại (định lí Pythagore đảo)

Giải

2. Tính đối xứng của đường tròn

Giải

* Gọi là trung điểm cạnh , ta có là trung tuyến của

(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

cách đều ba đỉnh nên ba điểm thuộc đường tròn tâm

Đường tròn có đường kính là

là trục đối xứng của đường tròn .

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG

DẠNG 1: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Phương pháp giải:

Ta có hai cách để chứng minh sau

Cách 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm nào đó.

Cách 2: Dùng định lý: “Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó thì tam giác đó là tam giác vuông và ba đỉnh của tam giác đó nằm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền của tam giác đó.”

Bài 1: Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Giải

a) Giá sử vuông tại . Gọi là trung điểm

Suy ra (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Giải

Do đó, điểm cách đều ba đỉnh hay chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Giả sử đường tròn đường kính ngoại tiếp tam giác.

Ta có:

Mà là đường trung tuyến ứng với cạnh nên vuông tại

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Giải

Ta có:

vuông tại (gt), cạnh huyền

Ba điểm thuộc đường tròn đường kính (1)

Giải

vuông tại ( là hình chiếu của lên ), cạnh huyền

Ba điểm thuộc đường tròn đường kính (2)

Vì đối xứng với qua nên cũng nằm trên đường tròn đường kính (tính chất đối xứng của đường tròn) (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra 5 điểm cùng thuộc hay cùng nằm trên đường tròn đường kính

Tâm là trung điểm của .

Bài 3: Cho tam giác vuông tại , đường cao . Từ điểm bất kỳ nằm trên cạnh , kẻ và . Chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Giải

Xét vuông tại ( tại ), cạnh huyền

thuộc đường tròn đường kính (1)

Xét vuông tại là đường cao ), cạnh huyền

thuộc đường tròn đường kính (2)

Bài 3: Cho tam giác vuông tại , đường cao . Từ điểm bất kỳ nằm trên cạnh , kẻ và . Chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Giải

Xét vuông tại (tại ), cạnh huyền

thuộc đường tròn đường kính (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .

Giải

Bài 4: Cho tam giác vuông tại , điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: // và (vì là đường trung bình của )

Ta có: // và (vì là đường trung bình của )

Suy ra: // và

là hình bình hành (1)

Giải

Mặt khác // (do là đường trung bình của )

Mà và

(2)

Từ (1), (2) suy ra là hình chữ nhật. Các và có chung cạnh huyền nên bốn điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính .

Bài 5: Cho hình thoi ABCD . Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Chứng minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD.

Giải

Gọi . Vì là hình thoi nên là trung điểm của và tại

là đường trung trực của

Mà là đường trung trực của (gt) và

Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp

Chứng minh tương tự, ta cũng có là tâm đường tròn ngoại tiếp .

DẠNG 2: Vị trí của một điểm với đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Phương pháp giải:

• Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn:
• Điểm nằm trên đường tròn nếu
• Điểm nằm trong đường tròn nếu
• Điểm nằm ngoài đường tròn nếu

--------------- Còn tiếp ---------------