Tìm giá trị của tham số sao cho hàm số thoả mãn một giá trị nào đó liên quan đến GTLN và GTNN trên đoạn [a; b].

I.Phương pháp giải

Ta chú ý rằng, hàm số đang xét luôn đạt GTLN, GTNN tại các đầu mút của đoạn. Ta giải bài toán này theo hai bước.

• Từ các điều kiện $\underset{[a; b]}{Max y}$ hoặc $\underset{[a; b]}{Max y}=y(b)$, $\underset{[a; b]}{min y}=y(a)$ hoặc $\underset{[a; b]}{min y}=y(b)$; ta suy ra điều kiện cần đối với m.
• Thử lại các giá trị m ở bước trước ta tìm được những giá trị m thoả mãn đề bài.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm số thực m sao cho hàm số $y=\frac{x+m}{x-1}$ thoả mãn $\underset{[2; 4]}{min y} = 3$.

Bài giải:

Ta có: hàm số $y=\frac{x+m}{x-1}$ đạt GTNN trên đầu mút của đoạn [2; 4].

Do đó ta có: $y(2)=3$ hoặc $y(4)=3$

$\Leftrightarrow 2+m=3$ hoặc $\frac{4+m}{3}=3$.

$\Leftrightarrow$ m = 1 hoặc m = 5.

Thử lại:

• m = 1. Ta có $y=\frac{x+1}{x-1}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định, nên nó nghịch biến trên [2; 4] do đó $\underset{[2; 4]}{Max y} = 3$ (loại).
• m = 5. Ta có $y=\frac{x+5}{x-1}$. Ta có $\underset{[2; 4]}{min y} = 3$ (thoả mãn).

Vậy m = 5.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \mid x^{2}-2mx +2m^{2}+2m+1\mid $ (m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực của m để $\underset{R}{min y}=1$.

Bài giải:

Để có $\underset{R}{min y}=1$ = 1  thì y > 0. Do đó $\mid x^{2}-2mx +2m^{2}+2m+1\mid =0$ vô nghiệm.

Ta có: $x^{2}-2mx +2m^{2}+2m+1 = (x-m)^{2}+m^{2}+2m+1\geq m^{2}+2m+1$.

Dấu "=" xảy ra khi x = m.

Khi đó $\underset{R}{min y} = m^{2}+2m+1 = 1$.

$\Leftrightarrow $ m = -2 hoặc m = 0.

Vậy  m = -2 hoặc m = 0.