Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

I.Phương pháp giải

Đặt $t=k(x)$.

Xác định điều kiện của t.

Đưa hàm số f(x) về hàm số g(t).

Tìm GTLN; GTNN của hàm g(t) rồi kết luận.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\cos 2x+2\sin x -3$ trên $[\frac{-\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$.

Bài giải:

Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in [\frac{-\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$ nên $t\in [\frac{-1}{2}; 1]=T$.

Khi đó $f(x)= -2t^2+2t-2=g(t).$

Ta có $g'(t)=-4t+2$.

$g'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$.

Ta có: $g(\frac{-1}{2})=\frac{-7}{2}; g(\frac{1}{2})=\frac{-3}{2}; g(1)=-2$.

Vậy:

$\underset{x}{max}$ $f(x)=\underset{t}{max}g(t)=g(\frac{1}{2})=\frac{-3}{2}$

$\underset{x}{min}$ $f(x)=\underset{t}{min}g(t)=g(\frac{-1}{2})=\frac{-7}{2}$

Bài tập 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}-\sqrt{(x-1)(5-x)}+5$.

Bài giải:

Tập xác định D=[1; 5], X = D.

$Đặt t=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$

Khi đó: $t^{'}=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{5-x}}$

$t^{'}=0\Leftrightarrow x=3$

$t(1)=2, t(3)=2\sqrt{2}, t(5)=2$

$\underset{[1; 5]}{max}t=2\sqrt{2} \underset{[1; 5]}{min}t=2.$

$\Rightarrow t\in [2; 2\sqrt{2}]$

$t^{2}=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\Rightarrow \sqrt{(x-1)(5-x)}=\frac{t^{2}-4}{2}$

Vậy ta được:

$\Rightarrow g(t)\frac{-1}{2}t^{2}+t+7$

$g^{'}(t)=-t +1=0\Leftrightarrow t=1\in [2; 2\sqrt{2}]$

$g(2)=7, g(1)=\frac{15}{2}, g(2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}$

$\underset{x}{max}$ $f(x)=\underset{t}{max}g(t)=g(1)=\frac{-3}{2}$

$\underset{x}{min}$ $f(x)=\underset{t}{min}g(t)=g(2\sqrt{2})=3+\sqrt{2}$