Lời giải Ví dụ 4 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Lời giải ví dụ 4 :

Đề ra : 

Cho phương trình : $x^{2}-2mx+m-2=0$    ( x là ẩn số )                 (1)

a. Chứng minh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .

b. Định m để hai nghiệm  $x_{1},x_{2}$  của (1) thỏa mãn :  $(1+x_{1})(2-x_{2})+(1+x_{2})(2-x_{1})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$ .

<  Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT ,  TP Hồ Chí Minh năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết : 

                     $x^{2}-2mx+m-2=0$    ( x là ẩn số )                 (1)

a.  Ta có :  $\Delta {}'=m^{2}-m+2=m^{2}-m+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

    <=>  $\Delta {}'=(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$

Vì  : $\Delta {}'=(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}>0,\forall m$

=>   (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .   ( đpcm )

b.  Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m & \\ x_{1}.x_{2}=m-2& \end{matrix}\right.$

Do đó :  $(1+x_{1})(2-x_{2})+(1+x_{2})(2-x_{1})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$ .

<=>   $2-x_{2}+2x_{1}-x_{1}x_{2}+2-x_{1}+2x_{2}-x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$

<=>   $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}-2=0$

<=>    $(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}+x_{2})-2=0$

<=>    $4m^{2}-2m-2=0<=> 2m^{2}-m-1=0$        (*)

Nhận xét : (*) có dạng : a + b + c = 0 

=>  (*) có hai nghiệm phân biệt :  $m=1;m=\frac{-1}{2}$

Vậy  để hai nghiệm  $x_{1},x_{2}$  của (1) thỏa mãn :  $(1+x_{1})(2-x_{2})+(1+x_{2})(2-x_{1})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2$  thì m = 1 hoặc $m=\frac{-1}{2}$ .