Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) Xét hàm số $y=f(x)=\tan x-x$ trên $(0,\frac{\pi}{2})$.

Ta có $y'=f'(x)=\frac{1}{\cos ^{2}x}-1=\tan^{2}x>0 \: \forall x(0, \frac{\pi}{2})$.

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,\frac{\pi}{2})$ và $f'(x)>0$ với mọi $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng này.

Suy ra với $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ thì $f(x)>f(0)=0$ hay $\tan x-x >0$.

Vậy $\tan x>x$ với $x \in(0, \frac{\pi}{2})$.

b) Xét hàm số $y=g(x)=\tan x -x -\frac{x^{3}}{3}$ với $x \in(0,\frac{\pi}{2})$

Ta có $y'=g'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}-1-x^{2}=\tan ^{2}x-x^{2}$.

Theo kết quả câu a ta có $tan x >x $ với mọi $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ nên suy ra $g'(x)=\tan ^{2}x-x^{2}>0$ với $x \in (0,\frac{\pi}{2})$

Do đó hàm số $g(x)$ luôn đồng biến trên $(0, \frac{\pi}{2})$ $\Rightarrow g(x)>g(0)=0$ hay $ \tan x>x+\frac{x^{3}}{3}$ với $0<x< \frac{\pi}{2}$.