Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 đồng biến trên tập số thực.

I. Phương pháp giải:

$y$ đồng biến trên $ \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y'\geq 0, \forall x\in \mathbb{R}$.

Điều trên tương đương với

$\left\{\begin{matrix}a>0\\\Delta _{y'}\leq 0\end{matrix}\right.$

 II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Hàm số $y=-x^3-mx^2+(4m+9)x+5$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $ \mathbb{R}$?

Bài giải:

Ta có $y'=-3x^2-2mx+(4m+9)$ là tam thức bậc hai có $\Delta ^{'}=m^2+12m+27$.

Hàm số nghịch biến trên $ \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{'}\leq 0, \forall x\in \mathbb{R}$, tức là: 

$\Delta ^{'}\leq 0 \Leftrightarrow m^2+12m+27\leq 0\Leftrightarrow -9\leq m\leq -3$.

Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $7$. 

Bài tập 2:  Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)mx^2-x+4$ nghịch biến trên $ \mathbb{R}$?

Bài giải:

Ta thấy, điều kiện cần để hàm số trên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $m^2-1 \leq 0 $ $\Leftrightarrow$ m$\in$ {-1;0;1}.

• $m=0$, $y=-x^3-x^2-x+4$. Ta có, $y'=-3x^2-2x-1<0$, $\forall$ $ x\in \mathbb{R}$

Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, (thoả mãn).

• $m=1$, $y=-x+4$. Ta có, $y'=-1<0$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, (thoả mãn).

• $m=-1$, $y=-2x^2-x+4$.

Hàm số nghịch biến trên $(\frac{-1}{4}; +\infty)$, đồng biến trên $(-\infty;\frac{-1}{4})$, (không thoả mãn).

Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $2$.