Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định

I. Phương pháp giải:

Ta có $y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y'>0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

Điều này tương đương với $ad-bc>0.$

Chú ý: Bài toán trên $y'$ không được phép bằng $0$. Vì khi đó, $ad-bc=0$ dẫn đến hàm số không đổi trên từng khoảng xác định.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá thực của $m$ sao cho hàm số $y=\frac{m-x}{x+1}$ đồng biến trên khoảng xác định.

Bài giải:

Ta có $y=\frac{-x+m}{x+1}$.

Áp dụng lý thuyết trên, ta có điều kiện đối với m là: $-1-m>0$ tương đương $ m<-1$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{mx+4m}{x+m}$, với $m$ là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

Bài giải:  

Ta có $y=\frac{mx+4m}{x+m}$ .

Áp dụng lý thuyết trên, ta có điều kiện đối với m là: $m^2-4m <0$ tương đương 0 < m < 4.

Vì m nguyên nên các giá trị của m là: 1; 2; 3. Vậy số phần tử của S bằng 3.

Bài tập 3:  Tìm tất cả các giá thực của $m$ sao cho hàm số $y=\frac{x+m}{m-x}$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$.

Bài giải:

Ta viết lại $y=\frac{x+m}{-x+m}$.

Ta có $y'=\frac{2m}{(-x+m)^2}$ .

Hàm số trên đồng biến trên khoảng $(1;3)$ khi và chỉ khi hàm số xác định trên khoảng $(1;3)$ và đồng biến trên từng khoảng xác định.

Nghĩa là:

$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}m\leq 1 \\m\geq 3\end{array}\right.\\ \\ m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow  m\in (0;1] \cup [3,+\infty)$.