Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp

I. Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt $t=t(x)$, đưa bài toán về hàm $f(t).$

Bước 2: Tìm tập giá trị của hàm $t=t(x), x\in (a;b)$. Giả sử tập giá trị bằng $(\alpha; \beta)$. Khi đó

• Hàm $t(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ thì

$f[t(x)]$ đồng biến trên $(a;b)$ $\Leftrightarrow $ $f(t)$ đồng biến trên $(\alpha; \beta)$.

• Hàm $t(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$ thì

$f[t(x)]$ đồng biến trên $(a;b)$ $\Leftrightarrow $ $f(t)$ nghịch biến trên $(\alpha; \beta)$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm $m$ sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi}{4})$?

Bài giải: 

Đặt $t=\tan x,$ ta có

• $\tan x$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi}{4})$.

• $t\in (0;1)$.

Bài toán tương đương với tìm $m$ để hàm số $y=\frac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $(0;1),$ nghĩa là

$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}m\leq 0 \\m\geq 1\end{array}\right.\\ -m+2>0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m\leq 0 \\1\leq m<2\end{array}\right.$.

Bài tập 2: Tìm $m$ sao cho hàm số $y=\frac{-\cos x+m}{\cos x-1}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$?

Bài giải: 

Đặt $t=\cos x,$ ta có

• $\cos x$ nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$.

• $t\in (0;1)$.

Bài toán tương đương với tìm $m$ để hàm số $y=\frac{-t+m}{t-1}$ nghịch biến trên khoảng $(0;1).$

Ta có $y'=\frac{1-m}{(t-1)^2}$ $\Leftrightarrow$ $1-m<0$ $\Leftrightarrow$ $m>1.$