Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36)

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{AD}{2}$.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{AB}{2}$.

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta BMC$ có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

$\widehat{NAB}=\widehat{MBC}=90^{\circ}$ (do ABCD là hình vuông)

Do đó, $\Delta ANB = \Delta BMC$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do $\Delta ANB = \Delta BMC$ nên $\widehat{ENB}=\widehat{CMB}=\widehat{BNA}$.

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

$\widehat{BEM}=180^{\circ}-\widehat{EMB}-\widehat{MBE}=180^{\circ}-\widehat{BNA}-\widehat{ABN}=\widehat{BAN}=90^{\circ}$

Vậy BN vuông góc với CM tại E.